Bir o`zgaruvchili funktsiyalarning integral hisobi

13-MAVZU: CHIZIQLI BIR JINSLI DIFFERENTSIAL TENGLAMALAR. CHIZIQLI OʻZGARMAS KOEFFITSIENTLI IKKINCHI TARTIBLI BIR JINSLI TENGLAMALAR.
REJA:

1. 
   Chiziqli bir jinsli differentsial tenglamalar.
   
2. 
   Chiziqli oʻzgarmas koeffitsientli ikkinchi tartibli bir jinsli tenglamalar.
   

1‑ta’rif. Аgar n-tartibli differentsial tenglama noma’lum у funktsiya vа uning y^’,...,y^(n-1),yⁿ hosilalariga nisbatan birinchi darajali bo’lsa, bunday tenglama chiziqli differentsial tenglama deyiladi, ya’ni
a₀y¹+a₁y¹¹+...+a_ny⁽ⁿ⁾= (x) (1)
ko’rinishda bo’ladi bunda a₀, a₁, a₂,..,a_n vа (x) lar х ning ma’lum funktsiyalari yoki o’zgarmas sonlar, a₀,0, a₀=1 deb hisoblaymiz.

Аgar (x) 0bo’lsa,bu holda tenglamay¹+a₁y^(n-1)+...+a_n y⁽ⁿ⁾ = (x)

ko’rinishda bo’ladi vа bu tenglama bir jinslimas chiziqli tenglama yoki o’ng tomonli tenglama deyiladi.
Аgar (x)  0 bo’lsa, u holda tenglama y'+a₁y^(n-1)+...+a_n y_n=0 (2)
Ko’rinishda bo’ladi vа bir jinsli chiziqli yoki o’ng tomonsiz tenglama deyiladi.
y''+a₁y'+a₂ y = (x) (3) ko’rinishdagi tenglamani qaraymiz.
1‑teorema. Аgar у₁ vау₂ 2‑tartibli bir jinsli (2) tenglamaning ikkita xususiy yechimi bo’lsa, u holda у₁+у₂ ham bu tenglamaning yechimi bo’ladi.

Isbot.у₁ vау₂ tenglamaning yechimi bo’lgani uchun

(4)
у₁+у₂ yig’indini (3) tenglamaga qo’ysak
(y₁+y₂)`` a(y<sub>1</sub>+y<sub>2</sub>)` a<sub>2</sub>(y<sub>1</sub>+y<sub>2</sub>)` =(y<sub>1</sub>``+a₁y₁`+a<sub>2</sub>y<sub>1</sub>`) (y₂``+a₁y₂`+a<sub>2</sub>y<sub>2</sub>`) 0+0=0