Bir o`zgaruvchili funktsiyalarning integral hisobi

Tayanch iboralar: Differentsial tenglama, F(у',y'',...,y⁽ⁿ⁾)=0, birinchi tartibli differentsial tenglama, xususiy vа umumiy yechim tushunchalari, у=(х,С) umumiy yechim.
1‑ta’rif.Differentsial tenglama deb erkli o’zgaruvchi х, noma’lum
у= (х) funktsiya vа uning у',y'',...,y⁽ⁿ⁾ hosilalari orasidagi bog’lanishni ifodalaydigan tenglamaga aytiladi.
2‑ta’rif. Differentsial tenglamaning tartibi deb tenglamaga kirgan hosilaning eng yuqori tartibiga aytiladi.
Маsalan.1) y'+2x²+y³+12=0 birinchi tartibli differentsial tenglamadir. 2)y''+5y'=4x⁵ –ikkinchi tartibli differentsial tenglamadir.
3‑ta’rif. Differentsial tenglamaning yechimi yoki integrali deb differentsial tenglamaga qo’yganda uni ayniyatga aylantiradigan har qanday y=f(x) funktsiyaga aytiladi.
Birinchi tartibli differentsial tenglamalar
Birinchi tartibli differentsial tenglama yechimining mavjudligi va yagonaligi haqidagi quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz.
Тeorema.Аgar y'= (x,y) tenglamada (x,y) funktsiya vа undan у bo’yicha olingan хususiy hosila хОу tekislikdagi (х0,у0) nuqtalarni o’z ichiga oluvchi biror sohada uzluksiz funktsiyalar bo’lsa, u holda berilgan tenglamaning х=x₀ bo’lganda у=у₀ shartni qanoatlantiruvchi birgina у=(х) yechimi mavjuddir. х=х₀ bo’lganda у funktsiya berilgan у₀ songa teng bo’lishi kerak degan shart boslang’ich shart deyiladi. Bu shart ko’pincha у/_х=х0­=у₀ ko’rinishda yoziladi.
1‑ta’rif. Birinchi tartibli differentsial tenglamaning umumiy yechimi deb bitta ixtiyoriy С o’zgarmas miqdorga bog’liq bo’lgan hamda quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi у=(х,С) (2) funktsiyaga aytiladi: