Bir o`zgaruvchili funktsiyalarning integral hisobi

2-MAVZU: ENG SODDA RATSIONAL KASRLARNI INTEGRALLASH. RATSIONAL KASRLARNI SODDA RATSIONAL KASRLARGA AJRATISH. RATSIONAL FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH ALGORITMI.
REJA:

1. Ratsional funksiyalarni integrallash.

2. 
   Sodda kasrlar.
   
3. 
   To’g’ri kasrlarni sodda kasrlar orqali ifodalash.
   

Ushbu

ko’rinishidagi kasrlar sodda kasrlar deb ataladi, bunda hamda lar o’zgarmas sonlar, kvadrat uchhad esa haqiqiy ildizga ega emas.
Ma’lumki, qiyidagi
va

ko’phadlarning ( o’zgarmas sonlar ) nisbati

kasr ratsional funksiya deyiladi, bo’lganda esa u to’g’ri kasr deb ataladi.
Har qanday to’g’ri kasr sodda kasrlar orqali ifodalanadi. Buni isbotlashdan avval, ikkita lemma keltiramiz.
1—lemma. Agar to’g’ri kasr mahrajidagi ko’phad ushbu

ko’rinishda bo’lib , ko’phad esa ga bo’linmasa, u holda berilgan to’g’ri kasr quydagi
ko’rinishda ifodalanishi mumkin, bunda o’zgarmas haqiqiy sonlar, ko’phad.
2—lemma. Agar to’gri kasr maxrajidagi ko’phad

ko’rinishga ega bo’lib ( kvadrat uchhad haqiqiy ildizga ega emas), ko’phad ga bo’linmasa, u holda berilgan to’gri kasr quydagi ko’rinishda ifodalanishi mumkin:

bunda o’zgarmas sonlar, ko’phad.
◄ to’g’ri kasrni quydagicha yozib olamiz:
.
Bu tenglikdagi
ko’phad va sonlarga bog’liq. Endi va sonlarni shunday tanlab
olish mumkinligini ko’rsatamizki, natijada ko’phad ga bo’lin-sin. Avvalo va ko’phaglarning har birini kvadrat uchhadga bo’lib topamiz:

bunda va – ko’phadlar. U holda

bo’ladi. Bu tenglikdan ko’rinadiki had ga bo’linishi uchun ning barcha qiymatlarida
,
yani

bo’lishi kerak. va larga nisbatan sistemaning determinanti

bo’ladi. Buni isbotlaymiz. Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni
bo’lsin.
Agar bo’lsa, unda bo’lib, natijada dan ko’phad ga bo’linishi kelib chiqadi. Bu esa ko’phad ga bo’linmaydi deb olinishiga ziddir. Demak, . Bu holda tenglik ushbu

ko’rinishni olib, haqiqiy son tenglamaning ildizi bo’lishini ko’ramiz. Bu esa kvadrat uchhad haqiqiy ildizga ega bo’lmasin deb olinishiga ziddir. Demak, sistemaning determinanti noldan farqli ekan. U holda, bu sistemadan yagona va sonlar topiladi. Bu sonlarni ga qo’ysak, natijada ko’phad ga bo’linib, kasr esa ushbu

ko’rinishga keladi, bunda —ko’phad.
Xuddi shu yo’l bilan

va hokozo

bo’lishi topiladi. tengliklardan

bo’lishi kelib chiqadi.►
3-teorema.Har qanday to’g’ri kasr soda kasrlar yig’indisi orqali ifodalanadi.
◄ to’g’ri kasr bo’lsin. esa darajali ko’phad bo’lib,

bo’lsin, bunda
bo’lib, kvadrat uchhadlar haqiqiy ildizga ega emas.
to’g’ri kasrni quydagi

ko’rinishda yozib, bu tenglikning o’ng tomoniga 1—lemmani bir necha marta ( marta ) qo’llanib topamiz:


bunda
Endi kasrga 2—lemmani bir necha marta qo’llab, topamiz:

va munosabatlardan teoremaning isboti kelib chiqadi. ►
Yuqorida isbotlangan teoremadagi o’zgarmas sonlarni boshqacha – noma’lum koeffitsientlar usuli deb atalgan usul bilan ham topish mumkin. Bunda to’g’ri kasr noma’lum koeffitsientlari bo’lgan sodda kasrlarga yoyilib, so’ng tenglikning o’ng tomonidagi sodda kasrlar yig’indisi umumiy maxrajga keltiriladi.
Natijada

tenglik hosil bo’ladi va undan barcha x lar uchun o’rinli bo’lgan