Bir o`zgaruvchili funktsiyalarning integral hisobi

Ta'rif.z=f(x,y) funksiyaning gradienti deb koordinatalari va xususiy hosilalardan iborat vektorga aytiladi.
z=f(x,y) funksiyaning gradienti odatda gradf kabi belgilanadi. Gradient ma’nosini aniqlash uchun, vektorlarning skalyar ko‘paytmasidan (III bob, §2) foydalanib, l yo‘nalish bo‘yicha hosilaning (4) ifodasini quyidagicha yozib chiqamiz:
.
Bu yerda φ orqali lyo‘nalishni ifodalovchi e birlik vektor bilan gradient vektor orasidagi burchak ifodalangan. Oxirgi tenglikdan ko‘rinadiki, φ=0 bo‘lganda yo‘nalish bo‘yicha hosila berilgan nuqtada o‘zining eng katta qiymatiga erishadi. Demak, berilgan nuqtada z=f(x,y) funksiyaning turli l yo‘nalishlar bo‘yicha hosilasi (o‘zgarish tezligi) bu yo‘nalish gradient bilan ustma-ust tushganda eng katta qiymatiga erishadi va bu qiymat gradient moduliga teng bo‘ladi. Gradient , majoziy qilib aytganda, tog‘ cho‘qqisida olib chiqadigan eng tikka yo‘nalishni ifodalaydi.
Masalan,yuqorida ko‘rilgan f(x,y)=x²–y² funksiyaning M(x,y) nuqtadagi gradienti gradf={2x, –2y} bo‘ladi. Xususan, M(1,1) nuqtada gradf={2, –2} va bu nuqtadagi funksiyaning eng katta o‘zgarish tezligi | gradf |= bo‘ladi.

Ikki o‘zgaruvchili funksiya differensiallari va ularning tatbiqlari. Oldin z=f(x,y) funksiyaning aniqlanish sohasidagi biror M(x,y) nuqtadagi to‘la orttirmasini eslaymiz (§1, (3) ga qarang):

z=f = f (x +x , y + y )– f (x , y) .
Ta'rif.Agar z=f(x,y) funksiyaning berilgan M(x,y) nuqtadagi to‘la orttirmasi
f=Ax+By+αx +βy (5)
ko‘rinishda ifodalanib, unda A=A(x,y) va B=B(x,y) argumentlarning x va y orttirmalariga bog‘liq bo‘lmagan sonlar, αvaβesa x→0, y→0 holda cheksiz kichik miqdorlar bo‘lsa, unda bu funksiya M(x,y) nuqtada differensiallanuvchi deb ataladi. To‘la orttirmaning x va y orttirmalariga nisbatan bosh, chiziqli qismi Ax+By funksiyaning differensiali deyiladi.
z=f(x,y) funksiyaning differensiali df yoki df(x,y) kabi belgilanadi va, ta’rifga asosan, (5) tenglikdan
df=Ax+By (6)
formula orqali topiladi.
Misol sifatida f(x,y)=x²+xy+3y funksiyaning differensiallanuvchi ekanligini ta’rif bo‘yicha tekshiramiz. Buning uchun dastlab funksiyaning to‘la orttirmasini topamiz:
f = [( x +x)²+(x +x)( y + y)+3(y + y)] –[ x²+xy+3y]=
=2xx+(x)²+ xy+ yx+ xy+3y= (2x+y)x+(x+3)y+xx+xy.
Bu tenglikni (5) bilan taqqoslab, A=2x+y, B=x+3, α=x , β=x ekanligini ko‘ramiz. Bunda 4-ta’rifdagi barcha shartlar bajarilmoqda va shu sababli bu funksiya tekislikdagi ixtiyoriy M(x,y) nuqtada differensiallanuvchi va uning differensiali , (6) tenglikka asosan, quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
df=(2x+y)x+(x+3)y.
Ammo funksiyani differensiallanuvchi ekanligini har doim ham uning ta’rifi asosida tekshirish oson bo‘lmaydi. Shu sababli bu savolga umumiy holda javob topish masalasi paydo bo‘ladi. Bu masala quyidagi teoremada o‘z yechimini topadi.
2-TEOREMA: Agar z=f(x,y) funksiyaning xususiy hosilalari M(x,y) nuqta va uning biror atrofida aniqlangan hamda uzluksiz bo‘lsa, unda funksiya bu nuqtada differensiallanuvchi va uning differensiali
(7)
formula bilan aniqlanadi.