Binominal taqsimot. Guruh: 022-18 Bajardi: Xaydarov Ikrom

O’zbekiston Respublikasi Axborot Texnologiyalari va

Kommunikatsiyalarini Rivojlantirish Vazirligi

______________________________________________

Muhammad Al-Xorazmiy nomidagi

Toshkent Axborot Texnologiyalari Universiteti.

Oliy matematika Kafedrasi.

Algoritmalarni loyihalash fani.

MUSTAQIL ISH

Mavzu: Binominal taqsimot.

Guruh: 022-18

Bajardi:Xaydarov Ikrom.

Toshkent 2021

Mavzu: Binominal taqsimot.

Reja:

1. Binominal taqsimot ta'rifi

2. Binominal taqsimot formulasi

3. Binominal taqsimotga misollar

4. EXCEL Binomial taqsimotidagi diskret tarqatish, uning cheklangan shakllari

Конец формы

Binomial taqsimot: ta'rifi, formulasi, misollari. Binomial taqsimot. EXCEL Binomial taqsimotidagi diskret tarqatish, uning cheklangan shakllari

Bernulli sxemasining amalga oshirilishini ko'rib chiqing, ya'ni. bir necha marta takrorlangan mustaqil testlar o'tkaziladi, ularning har birida berilgan A hodisasi test sonidan mustaqil ravishda bir xil ehtimollikka ega. Va har bir sinov uchun faqat ikkita natija mavjud:

1) voqea - muvaffaqiyat;

2) voqea - muvaffaqiyatsizlik,

doimiy ehtimolliklar bilan

Diskret X tasodifiy o'zgaruvchini hisobga olamiz - "A hodisaning sodir bo'lish soni p testlar "va ushbu tasodifiy o'zgaruvchining tarqalish qonunini toping. X miqdori qiymatlarni qabul qilishi mumkin

Ehtimollik  tasodifiy X ning qiymatni qabul qilishi x k Bernulli formulasi bo'yicha topilgan

Bernulli formulasi (1) bilan aniqlangan diskret tasodifiy o'zgaruvchining tarqalish qonuni deyiladi binomial tarqatish qonuni. Doimiy p va r (q \u003d 1-p)formulada (1) deyiladi binomial taqsimot parametrlari.

"Binomial taqsimot" nomi tenglikdagi o'ng tomon (1) Nyuton binomialining kengayishidagi umumiy atama ekanligi bilan bog'liq, ya'ni.

(2)

Va beri p + q \u003d 1, keyin tenglikning o'ng tomoni (2) 1 ga teng

Bu shuni anglatadiki

(4)

Tenglikda (3), birinchi muddat q n o'ng tomonda bu ehtimollik degan ma'noni anglatadi p sinov hodisasi A ikkinchi marta ham bir marta paydo bo'lmaydi  a hodisasi bir marta, uchinchi muddat A hodisaning ikki marta paydo bo'lish ehtimoli va nihoyat oxirgi muddat p p - A hodisasining to'liq paydo bo'lish ehtimoli p vaqt.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish binomial qonuni jadval shaklida keltirilgan:

X	0	1	…	k	…	n
R	q n		…		…	p p

Binomial taqsimotning asosiy raqamli xususiyatlari:

1) matematik kutish  (5)

2) dispersiya  (6)

3) standart og'ish  (7)

4) voqea sodir bo'lishining eng katta ehtimoli k 0 bu berilgan raqam p maksimal binomial ehtimolga mos keladi

hisobga olib p va r bu raqam tengsizliklar bilan aniqlanadi

 (8)

agar raqam bo'lsa pr + p to'liq emas, keyin k 0 bu sonning butun qismiga teng, ammo agar pr + p tamsayı, keyin k 0 ikki ma'noga ega

Ehtimollarni taqsimlash binomial qonuni o'q otish nazariyasida, mahsulot sifatini statistik nazorat qilish nazariyasi va amaliyotida, navbatlar nazariyasida, ishonchlilik nazariyasida va boshqalarda qo'llaniladi. Ushbu qonun mustaqil testlar ketma-ketligi mavjud bo'lganda qo'llanilishi mumkin.

1-misol:Sifat tekshiruvi shuni ko'rsatdiki, har 100 ta qurilmadan o'rtacha 90 donasi nuqsonlardan xoli. Tasodifiy 4-da sotib olingan qurilmalardan sifatli qurilmalar sonining ehtimollik taqsimotining binomial qonunini tuzing.

Qaror:Voqea - uning sodir bo'lishi tekshirilmoqda - bu "tasodifiy sotib olingan sifatli qurilma". Muammoning sharti bo'yicha binomial taqsimotning asosiy parametrlari:

Tasodifiy o'zgaruvchi X - bu olingan 4 ta yuqori sifatli qurilmalar soni, bu X qiymatlarini bildiradi - (1) formuladan foydalanib X qiymatlarining ehtimolligini topamiz:

Shunday qilib, X miqdorining taqsimlanish qonuni - olingan 4 ta sifatli qurilmalar soni:

X	0	1	2	3	4
R	0,0001	0,0036	0,0486	0,2916	0,6561

Tarqatishning to'g'riligini tekshirish uchun ehtimolliklar yig'indisi nimaga tengligini tekshiramiz

Javob:Tarqatish qonuni

X	0	1	2	3	4
R	0,0001	0,0036	0,0486	0,2916	0,6561

2-misol:Amaldagi davolash usuli 95% hollarda tiklanishiga olib keladi. Besh bemor ushbu usuldan foydalangan. Qayta tiklangan ehtimoliy sonni, shuningdek X tasodifiy o'zgaruvchining sonli xususiyatlarini toping - ushbu usuldan foydalangan 5 ta bemorning tiklangan soni.

Albatta, kümülatif taqsimlash funktsiyasini hisoblashda, binomial va beta-taqsimotlar orasidagi bog'lanishdan foydalanish kerak. Ushbu usul, albatta, n\u003e 10 bo'lganda to'g'ridan-to'g'ri yig'indidan yaxshiroqdir.

Statistikaga oid klassik darsliklarda binomial taqsimot qiymatlarini olish uchun ko'pincha chegara teoremalariga asoslangan formulalardan foydalanish tavsiya etiladi (masalan, Moivre-Laplas formulasi). Shuni ta'kidlash kerakki faqat hisoblash nuqtai nazaridan ushbu teoremalarning qiymati nolga yaqin, ayniqsa hozir deyarli har bir jadvalda kuchli kompyuter mavjud bo'lganda. Ushbu taxminlarning asosiy kamchiliklari ularning ko'pgina ilovalar uchun xos bo'lgan n qiymatlari uchun to'liq etarli bo'lmagan aniqligidir. Kam bo'lmagan kamchilik - bu yoki boshqa yaqinlashuvni qo'llash bo'yicha aniq tavsiyalarning yo'qligi (standart matnlarda faqat asimptotik formulalar berilgan, ular aniqlik baholari bilan birga kelmagan va shuning uchun unchalik foydasiz). Ikkala formulalar ham faqat n uchun amal qiladi, deb aytgan bo'lardim< 200 и для совсем грубых, ориентировочных расчетов, причем делаемых “вручную” с помощью статистических таблиц. А вот связь между биномиальным распределением и бета-распределением позволяет вычислять биномиальное распределение достаточно экономно.

Men bu erda kvantillarni topish muammosini ko'rib chiqmayapman: diskret tarqatish uchun bu ahamiyatsiz va bunday taqsimotlar paydo bo'ladigan muammolarda odatda bu ahamiyatga ega emas. Agar kvantillar hali ham zarur bo'lsa, men p-qiymatlari (kuzatilgan qiymatlar) bilan ishlash uchun muammoni qayta tuzishni tavsiya etaman. Mana bir misol: har bir qadamda sanash algoritmlarini amalga oshirishda binomial tasodifiy o'zgaruvchiga oid statistik gipotezani sinab ko'rish talab etiladi. Klassik yondashuvga ko'ra, har bir qadamda siz mezon statistikasini hisoblashingiz va uning qiymatini kritik to'plam chegarasi bilan taqqoslashingiz kerak. Biroq, algoritm to'liq bo'lganligi sababli, har safar kritik to'plam chegarasini yangi aniqlash kerak (axir namuna hajmi bosqichma-bosqich o'zgaradi), bu sarflangan vaqtni samarasiz oshiradi. Zamonaviy yondashuv, kuzatilgan ahamiyatni hisoblashni va uni ishonch darajasi bilan taqqoslashni, kvantillarni izlashga tejashni tavsiya qiladi.

Shuning uchun, quyida keltirilgan kodlarda teskari funktsiyalarni hisoblash yo'q; buning o'rniga rev_binomialDF funktsiyasi berilgan bo'lib, u berilgan miqdordagi n ta sinov uchun alohida testda muvaffaqiyat p ehtimolini, ularda erishilgan muvaffaqiyatlarning m sonini va ushbu m yutuqlarni olish ehtimoli y qiymati. Bunda binomial va beta-tarqatmalar o'rtasidagi yuqorida aytib o'tilgan munosabatlardan foydalaniladi.

Aslida, bu funktsiya sizga ishonch oralig'ining chegaralarini olishga imkon beradi. Darhaqiqat, biz $ n $ binomial testlarda $ m $ muvaffaqiyatlarga erishdik. Ma'lumki, ishonchlilik darajasi bo'lgan p parametri uchun ikki tomonlama ishonch oralig'ining chap chegarasi, agar m \u003d 0 bo'lsa, va uchun tenglamaning echimi bo'ladi  ... Xuddi shunday, agar m \u003d n bo'lsa, o'ng chegara 1 ga teng va for tenglamaning echimi  ... Demak, chap chegarani topish uchun biz tenglamani echishimiz kerak  va to'g'ri birini qidirish uchun –

tenglama  ... Ular binom_leftCI va binom_rightCI funktsiyalarida hal etiladi, ular mos ravishda ikki tomonlama ishonch oralig'ining yuqori va pastki chegaralarini qaytaradi.

Shuni ta'kidlashni istardimki, agar mutlaqo aql bovar qilmaydigan aniqlik kerak bo'lmasa, unda etarlicha katta n uchun siz quyidagi taxminiy qiymatdan foydalanishingiz mumkin [B.L. van der Vaerden, Matematik statistika. M: IL, 1960, ch. 2, soniya 7]:  , bu erda g - normal taqsimotning kvantiligi. Ushbu yaqinlashuvning qiymati shundaki, oddiy taqsimot kvantilalarini hisoblashga imkon beradigan juda oddiy taxminlar mavjud (normal taqsimotni hisoblash matniga va ushbu qo'llanmaning tegishli qismiga qarang). Mening amaliyotimda (asosan n\u003e 100 uchun) bu taxminiy ko'rsatkich 3-4 ta belgini berdi, bu qoida tariqasida juda etarli.

Quyidagi kodlardan foydalangan holda hisoblash uchun sizga betaDF.h, betaDF.cpp fayllari kerak (beta tarqatish bo'limiga qarang), shuningdek logGamma.h, logGamma.cpp (A ilovaga qarang). Shuningdek, funktsiyalardan foydalanish misolini ko'rishingiz mumkin.