Binar munosabatlar va ularning xossalari

Binar munosabat tushunchasi. Graflar.
Ma’lumki, to‘plam tushunchasi matematika fanining asosiy tusunchalaridan biri bo‘lib, bu fan taraqqiyotida muhim o‘rin egallaydi. Natural sonlar to‘plamini o‘rganish boshlang‘ich sinflardanoq boshlanadi. Bu ish sonlar orasidagi turli-tuman o‘zaro bog‘lanishlarni o‘rganish bilan amalga oshiriladi. Masalan, 10 soni 7 sonidan katta (ortiq), 8 soni 5 sonidan 3 ta ko‘p, 6 soni 5 sonidan keyin keladi.
Natural sonlar to‘plami elementlari orasida yana ko‘plab munosabatlarni o‘rganish mumkin. To‘g‘ri chiziqlar to‘plamida “parallel bo‘lishlik”, “perpendikulyar bo‘lishlik”, “o‘zaro kesishish” va h.k.
Endi ixtiyoriy X to‘plam elementlari orasidagi munosabat tushunchasini keltiramiz.

Ta’rif. X to‘plam elementlari orasidagi munosabat yoki X to‘plamda munosabat deb, Dekart ko‘paytmasining har qanday qism to‘plamiga aytiladi. 

Munosabat. R, S, Q va hokazo harflar bilan belgilanadi. 

Misol. X={3,4,5,6,8} sonlar to‘plamini qaraylik. Bu to‘plamda quyidagi munosabatlar mavjud:
1. R: “x son y sondan katta”, ya’ni 8>6, 8>5, 8>4, 8>3, 6>5, 6>4, 6>3, 5>4, 5>3, 4>3.
Bu munosabat quyidagi juftliklar to‘plami bilan aniqlanadi: {(8,6), (8,7), (8,6), (8,5), (8,4), (8,3), (6,5), (6,4), (6,3), (5,4), (5,3), (4,3)}. Ko‘rinib turibdiki, bu juftliklar Dekart ko‘paytmasining qism to‘plami bo‘ladi. Buni to‘plam ma’nosida deb yozish mumkin. Endi X to‘plamda S: “Ikki marta kichik” munosabatni qaraymiz. Bu munosabat quyidagi juftliklar to‘plamidan iborat bo‘ladi: {(3,6), (4,8)}. Bu yerda ham bo‘ladi. X to‘plamda Q: “1 ta ko‘p” munosabatni ham qarash mumkin. Bu munosabat quyidagi juftliklar to‘plamidan iborat bo‘ladi: {(4,5), (3,4), (6,5)}. Ravshanki, Yuqorida qaralgan R, S, Q munosabatlarning har biri ham Dekart ko‘paytmaning qism to‘plamlaridan iborat. 

X to‘plamdagi munosabatni ko‘rgazmali tasvirlash uchun nuqtalar strelkalar yordamida tutashtiriladi va chizma hosil qilinadi. Bunday chizma graf deb ataladi. Masalan, X={3,4,5,6,8} to‘plamda qaralgan R, S va Q munosabatlarning graflarini 1-, 2-, 3-chizmada tasvirlaymiz. 
1-chizma 2-chizma 3-chizma
X={2,4,6,8,12} to‘plamda P: “x soni y sonining bo‘luvchisi” degan munosabatni qaraymiz va grafini chizamiz. X to‘plam elementlarini nuqtalar bilan tasvirlab, x dan y ga strelkalar chiqaramiz. Masalan, 2 dan 4 ga strelka chiqaramiz, chunki 2 soni 4 ning bo‘luvchisi. Lekin har bir son o‘zi o‘zining bo‘luvchisi. Shuning uchun har bir x nuqtadan chiqqan strelka yana o‘ziga qaytadi. Grafda boshi va oxiri ustma-ust tushgan strelkalar sirtmoqlar deyiladi (4-chizma). 


X to‘plam to‘g‘ri chiziqlar to‘plamidan iborat bo‘lsin. Bu to‘plamda parallellik munosabatini qaraymiz (5-chizma). Ko‘rinib turibdiki, a ∕ ∕ b, c ∕ ∕ e, b ∕ ∕ a, e ∕ ∕ c, a ∕ ∕ a, b ∕ ∕ b, c ∕ ∕ c, e ∕ ∕ e, d ∕ ∕ d. Bu munosabatning grafini G={(a,b), (b,a), (c,e), (e,c), (a,a), (b,b), (c,c), (e,e), (d,d)} to‘plamdan iborat. Uning grafi 6-chizmadagidek bo‘ladi. 
Ta’rtif: Bo’sh bo’lmagan A va B to’plamlarda A to’plam elementlarini birinchi, B to’plam elementlarini ikkinchi qilib tuzilgan barcha juftliklar to’plamiga A va B to’plamlarning dekart (to’g’ri) ko’paytmasi deyiladi va u AxB ko’rinishda belgilanadi.

Ta’rifga ko’ra AxB={(x;y)/x A, y B} bo’ladi. Tartiblangan (x; y) juftlikni uzunligi teng ikkiga bo’lgan kortej ham deyiladi. Uzunligi n ga teng bo’lgan kortej deganda tartiblangan (a₁, a₂,..., a_n) belginin tushinamiz. Agar ikkita kortejning uzunliklari va mos komponentalari o’zaro teng bo’lsa, u holda bu kortejlani teng deyiladi.

Misol. A={1, 2, 3}, B={4, 5} bo’lsa u holda AxB={(1;4), (1;5), (2;4), (2;5), (3;4), (3;5)} bo’ladi.

Agar A to’plamda m ta B to’plamda n ta element bo’lsa, u holda AxB to’g’ri ko’paytmada mn ta element bo’ladi.

Ta’rif: Har qanday A₁, A₂, ... A_n to’plamlar berilgan bo’lsa, u holda A₁xA₂x…xA_n dekart ko’paytmaning ixtiyoriy W qism to’plami shu to’plamlar elementlari orasida aniqlangan n o’rinli moslik, n ga esa shu W moslikning rangi deyiladi.

Xususiy holda A₁=A₂=…=A_n=A bo’lsa, u holda W moslik A to’plamdan aniqlangan munosabat deb yuritiladi.

 bo’lib Aⁿ={(x₁, x₂,…, x_n)|x_iA (i= )} bo’ladi.

Dekart ko’paytma kommutativ emas.

Ta’rif: AxB dekart ko’paytmaning ixtiyoriy  qism to’plamiga A va B to’plam elementlari orasida aniqlngan binar (ikki o’rinli) munosabat deyiladi.

Agar aA, bВ bo’lib, (a; b) bo’lsa, u holda a element  munosabat yordamida b element bilan bog’langan deyiladi yoki  munosabat a va b elementlar uchun o’rinli deb yuritiladi va uni ab shaklda yoziladi. Mosliklarni , R, S, T… harflar orqali belgilanadi.

ab da  o’rnida =, //, ,   , … munosabatlar kelishi mumkin.

Misol. Ikkita a va b natural sonlarning eng katta umumiy bo’luvchisini topish uch o’rinli (ternar) munosabat bo’ladi.

Quyida binar munosabat turlarini ko’raylik: