Binar algebraik operatsiyalar

Algebraik operatsiya tushunchasi va uning xossalari: kommutativlik, assotsiativlik, distributivlik va qisqaruvchanlik. Neytral, yutuvchi va simmetrik elementlar.

Key words	Ключевые понятия	Kalit so’z	Ta`rifi
Value	Ценность	Qiymat	Biror bir narsaning muhumligi kerakligi foydaliyligi.
Possibility	Возможность	Imkoniyat	Biror bir narsaning amalga oshishi uchun kerakli bo’lgan sharti,vositasi.
Voluntary	Добровольный	Ixtiyoriy	Biror narsaning majburlanmasdan bajarilishi
Inverse activity	Обратная деятельность	Teskari amal	Agar uchun amal faqat va faqat o`rinli bo`lganda bajarilsa, amalga * amaliga teskari bo`lgan algebraik amal deyiladi.
A part of algebraic activity	Раздел алгебраической деятельности	Qismiy algebraik amal	Agar dekart ko`paytmaning qism to’plamini X to’plamga akslantirishi berilgan bo`lsa, bu akslantirishga to’plamda qismiy algebraik amal deyiladi.
Theorem	Теорема	Teorema	Yunoncha so’zdan olingan theoreo-“qarayman, tekshiraman”. Matematikada aksiomalar asosida qat’iy mantiqiy mushohada bilan isboitlangan tasdiq.
Proof	Доказательство	Isbot	Mulohaza, hukm,nazariyaning chinligini aniqlash(asoslash).
Existence	Существание	Mavjudlik	Bor bo’lishlik,mavjud ekanlik.
Inverse	Противоположный	Qarama-qarshi	Biri ikkinchisini inkor etuvchi,bir-biriga zid,hilof.
Symmetric element	Симметричный элемент	Simmetrik element	Agar X to’plamda berilgan (*) operatsiyaga nisbatan e∈X neytral element bo’lsa va x*  =  *x=e shart bajarilsa, u holda x ∈X simmetrik element deyiladi.

Algebraik sistemalar. Yarim gruppa, gruppa, halqa va maydon tushunchalari va ularga misollar

Reja:

1. 
   Algebra tushunchasi.
   
2. 
   Yarim gruppa va gruppa haqida tushuncha.
   
3. 
   Kommutativ Abel gruppasi.
   

Ma’ruza matni.

1. Algebraik amal berilgan va bo`sh bo`lmagan to’plam algebra deyiladi. Agar natural sonlar to’plami da qo`shish amali berilgan bo`lsa, bu to’plamda berilgan algebra ko`rinishda belgilanadi. ko`rinishda berilgan algebra natural sonlar to’plamida ayirish amali bilan berilgan, butun sonlar to’plamida bo`lish amali vositasida berilgan algebralar bo`ladi. Demak, algebra berilishi uchun bo`sh bo`lmagan to’plam va unda algebraik amal berilishi lozim ekan.

Agar to’plam berilib, unda algebraik amallar berilgan bo`lsa, ular vositasida berilgan algebra ko`rinishda bo`ladi. algebra algebradan va algebraik amallari bilan farq qiladi.

to’plam va unda berilgan * algebraik amal vositasida algebra beriladi. Gruppa, halqa, maydon ana shunday algebralar qatoriga kiradi. Quyida gruppa, halqa va maydon kabi algebralarning xossa va xususiyatlarini ko`rib chiqamiz.

2. Aytaylik bizga, to’plam va binar * algebraik amal berilgan bo`lsin.

1-ta’rif. Bo`sh bo`lmagan to’plamda * algebraik amal assotsiativ bo`lsa, algebra yarimg ruppa deyiladi.

2-ta’rif. Bo`sh bo`lmagan to’plamda quyidagi xossalar o`rinli bo`lsa, algebra gruppa deyiladi:

a) to’plamning ixtiyoriy elementlari uchun munosabat o`rinli bo`lsa, ya’ni binar * algebraik amal assotsiativ bo`lsa;

b) to’plamning ixtiyoriy elementi uchun shunday element mavjud bo`lib, u shartni qanoatlantirsa, ya’ni to’plamda neytral element mavjud bo`lsa;

d) to’plamning ixtiyoriy elementi uchun shunday element mavjud bo`lib, u quyidagi shartni qanoatlantirsa, ya’ni to’plamning har bir elementiga simmetrik element mavjud bo`lsa.

Ta’rifdan ko`rinadiki, algebra gruppa bo`lishi uchun * algebraik amal bo`lib, u assotsiativ bo`lishi hamda to’plamda e neytral, simmetrik elementlar mavjud bo`lishi kerak ekan.

3-ta’rif. Agar to’plamda berilgan * algebraik amal kommutativ bo`lsa, ya’ni ixtiyoriy uchun o`rinli bo`lsa, gruppa * binar algebraik amalga nisbatan kommutativ gruppa deyiladi. Kommutativ gruppa ba’zi hollarda Abel gruppa deb ham ataladi.

Binar «*» algebraik amalni «+» qo`shish amali bilan almashtiraylik. to’plamda + amali gruppa hosil qilishi uchun u quyidagi xossalarga bo`ysinishi kerak:

a) uchun bajarilishi, ya’ni qo`shish amali assotsiativ bo`lishi;

b) uchun shunday element bo`lsinki, bo`lsin, ya’ni neytral element mavjud bo`lishi;

d) to’plamning ixtiyoriy elementi uchun shartni qanoatlantiruvchi simmetrik ( ) element mavjud bo`lishi kerak.

Ma’lumki, qo`shish amali kommutativdir, shuning uchun algebra kommutativ, ya’ni Abel gruppasidir.

Misol. Haqiqiy sonlar to’plami qo`shish amaliga nisbatan kommutativ gruppa tashkil qiladi.

Haqiqatan ham, uchun

a) assotsiativlik xossasi o`rinli;

b) uchun mavjudki, ;

d) uchun topiladiki, .

Qo`shish amali haqiqiy sonlar to’plamida kommutativ, assotsiativ bo`lganidan va da neytral va simmetrik element mavjudligidan kommutativ gruppa bo`lishi kelib chiqadi.

Agar «*» algebraik amal sifatida «+» qo`shish amali olinib, algebra qo`shish amaliga nisbatan gruppa bo`lsa, bunday gruppalar additiv gruppalar deyiladi.

Agar «*» algebraik amal sifatida «·» qo`shish amali olinib, algebra ko`paytirish amaliga nisbatan gruppa bo`lsa, bunday gruppalar multi’likativ gruppalar deyiladi.