Бесконечные порядковые разложения jb-алгебр

1. О бесконечном разложении JC-алгебры
беровского типа

Аналогичную конструкцию бесконечного разложения относительно порядка, введенного в параграфе 2.3, можно ввести и для JC-алгебр. Пусть AJC-алгебра самосопряженных ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве H, {p_i}бесконечное ортогональное семейство проекторов алгебры A с ТВГ равной 1 в йордановой алгебре B(H)_sa всех ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве H. Напомним, что {abc}=(ab)c+a(bc)-(ac)b, a, b, cA и относительно ассоциативного умножения в B(H) {abc}=(1/2)(abc+cba). Далее, пусть

A={{{p_iap_j}}_ij:aA},
где {p_iap_j}= p_iap_j+p_jap_i относительно ассоциативного умножения в B(H). Тогда, 1) относительно алгебраических операций
{{p_iap_j}}_ij={{p_i a p_j}}_ij, R
{{p_iap_j}}_ij+{{p_ibp_j}}_ij={{p_i(a+b)p_j}}_ij, a,bA
множество A является векторным пространством,
2) как векторные пространства алгебра A и A могут быть отождествлены в смысле отображения I: aA{{p_iap_j}}_ijA,
3) множество A является упорядоченным нормированным пространством с единицей относительно порядка {{p_iap_j}}_ij0 ({{p_iap_j}}_ij0, если для всякого конечного семейства {p_k}_k=1ⁿ{p_i} такого, что p=_k=1ⁿp_k имеет место {pap}0), и нормы {{p_iap_j}}_ij= sup{_kl=1ⁿ{p_kap_l}: nN, {p_k}_k=1ⁿ{p_i}},
4) алгебра A и пространство A могут быть отождествлены как упорядоченные нормированные пространства с единицей в смысле отображения I: aA{{p_iap_j}}_ijA.
Пусть некоторое бесконечное множество индексов и индексы ,  берутся из множества . Пусть {p_}бесконечное ортогональное семейство проекторов алгебры A. Тогда, через _^{p_Ap_} мы обозначим множество
{{a_}: a_{p_Ap_} , для всех , , и существует такое число
KR, что _k,l=1ⁿa_klK, для всех nN, и {a_kl}_kl=1ⁿ{a_}}.
Тогда, относительно алгебраических операций
{a_}={a_}, R,
{a_}+{b_}={a_+b_}, {a_}, {b_}_^ {p_ Ap_}
множество _^{p_Ap_} является векторным пространством. А пространство A является векторным подпространством векторного пространства _^{p_Ap_}. Отображение {a_}{a_}, {a_}_^{p_Ap_}, где {a_}:=sup {_k,l=1ⁿa_kl : nN, {a_kl}_kl=1ⁿ{a_}}, является нормой, относительно которой _^{p_Ap_} является банаховым пространством. Заметим, что, так как алгебра A и A могут быть отождествлены, то порядок и норму в векторном пространстве A={{{p_iap_j}}_ij:aA} можно ввести и таким образом: {{p_iap_j}}_ij0, если a0; {{p_iap_j}}_ij=a. Также как в случае С*-алгебр они эквивалентны, соответственно, порядку и норме, определенным выше.
Введем отношение порядка  в пространстве _^{p_Ap_} следующим образом: для элементов {a_}, {b_}_^{p_Ap_}, если для всех nN, {p_k}_k=1ⁿ{p_} имеет место _k,l=1ⁿa_kl _k,l=1ⁿb_kl, то мы пишем {a_}{b_}. Тогда отношение , введенное выше, является отношением частичного порядка, и относительно этого порядка _^{p_Ap_} является упорядоченным нормированным пространством с единицей. При этом A={{{p_iap_j}}_ij:aA} является упорядоченным нормированным подпространством с единицей пространства _^{p_Ap_}.
Алгебра B(H)_sa и векторное пространство {{{p_iap_j}}_ij:aB(H)_sa} могут быть отождествлены. Тогда заметим, что порядок и норму в векторном пространстве _^{p_Ap_} можно ввести и таким образом: {a_ij}0, если образ этого элемента в B(H)_sa неявляется отрицательным в смысле B(H)=_^{q_B(H)q_}, где {q_}максимальное семейство минимальных проекторов алгебры B(H); {a_ij} равняется норме образа этого элемента в B(H) в смысле B(H)=_^{q_B(H)q_}. Они эквивалентны, соответственно, порядку и норме, определенным выше.
Далее, упорядоченное нормированное подпространство с единицей A={{{p_iap_j}}_ij:aA} является JB-алгеброй, операция йорданова умножения которой определяется следующим образом
 :<{{p_ ap_}}_,{{p_ bp_}}_>{{p_abp_}}_, {{p_ap_}}_, {{p_ bp_}}_A.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Пусть AJC-подалгебра в B(H)_sa, {p_i}_iI бесконечное ортогональное семейство проекторов алгебры A с ТВГ 1 в алгебре B(H)_sa и aA. Тогда a0 тогда и только тогда когда для всякого конечного семейства {p_k}_k=1ⁿ{p_i} имеет место {pap}0, где p=_k=1ⁿ p_k.
Доказательство. Для a=0 утверждение Теоремы 1 очевидно. Пусть далее a0. Ввиду положительности оператора T: a{bab}, aA для всякого элемента bA, если a0, то для всякого конечного семейства {p_k}_k=1ⁿ{p_i} такого, что p=_k=1ⁿ p_k имеет место {pap}0.
Обратно, пусть aA. Предположим, что для всякого конечного семейства {p_k}_k=1ⁿ{p_i} имеет место {pap}0, где p=_k=1ⁿ p_k. Тогда {(p_i+p_j)a(p_i+p_j)}0 для всяких i, j. При этом элемент (p_i+p_j)a(p_i+p_j) самосопряженный.
Пусть множество индексов вида ={i₁,i₂,…,i_n}, где nнатуральное число. Тогда  направлением при введении частичного порядка по включению. Рассмотрим b_=_i,j {p_iap_j},  и докажем, что она слабо сходится к элементу a. Пусть p_=_i p_i и D=_p_(H)H. Так как sup p_i=1 в B(H)_sa, p_1, и поэтому замыкание по норме множества D совпадает с H. Пусть D. Тогда существует ₁ такой, что p_1(H) и для всех индексов ₁ имеем p_ p_1. Отсюда, используя равенство b_={p_ap_}, получим, что
_,>=_a p_,>=_, p_>=
при ₁, т.е. _,> для всякого D.
Далее, пусть H, >0, =1. Тогда существует D, =1 такой, что
/(4a).
Так как
<(a-b_),>=<(a-b_)(-),>+<(a-b_),->
и
<(a-b_) (-),>a/(2a)=/2, <(a-b_),->a/(2a)=/2,
то
<(a-b_),>=<(a-b_)(-),>+<(a-b_),->/2+/2=,
Поэтому сеть _,> сходиться к . Отсюда, в силу произвольности H, сеть (b_) слабо сходится к элементу a.
Теперь докажем, что a0. Имеем сеть _,> сходится к для всякого H. Так как _,>0 для всякого индекса , то 0. Отсюда 0 для всякого H. Поэтому a0. 


Теорема 2. Пусть AJC-алгебра самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве H и {p_}бесконечное ортогональное семейство проекторов алгебры A с ТВГ равной 1 в йордановой алгебре B(H)_sa. Тогда, если _^{p_Ap_} является монотонно полным упорядоченным нормированным пространством и замкнуто в _^{p_B(H)_sap_} относительно взятия точных верхних граней ограниченных монотонно возрастающих сетей, то векторное пространство _^{p_Ap_} замкнуто относительно йорданова умножения алгебры _^{p_B(H)_sap_}, т.е. является JW-алгеброй, и это умножение совпадает со следующим йордановым умножением
 :<{ {a_}, {b_}}>{_i a_ib_i}, {a_}, {b_}_^{p_Ap_},
где
_ia_ib_i=1/2[_i (a_i+b_i)²-_i a_i²_i b_i²],
здесь сумма  в правой части равенства означает точную верхнюю границу (слабый предел) в _^{p_B(H)_sap_} ограниченной сверху монотонно возрастающей сети конечных сумм положительных элементов.
Доказательство. Берем {a_}, {b_}(_^{p_Ap_})_sa. Имеем _^{p_Ap_}_^{p_B(H)_sap_}=B(H)_sa. Поэтому существуют самосопряженные элеметы a, b в алгебре B(H) такие, что {p_ap_}=a_, {p_bp_}=b_ для всяких , . Поэтому {a_}={{p_ap_}}, {b_}={{p_bp_}}. Заметим, что
_ia_ib_i=1/2[_i (a_i+ b_i)(a_i+b_i)-_i a_ia_i -_i b_ib_i].
Здесь сумма  в правой части равенства означает точную верхнюю границу (слабый предел) ограниченной сверху монотонно возрастающей сети конечных сумм положительных элементов. Более того, каждая конечная сумма сети является элементом векторного пространства _^{p_Ap_}, т.е. каждая сеть, участвующая в равенстве является сетью _^{p_Ap_}. Следовательно, по условию теоремы точные верхние границы этих сетей, вычисленные в _^{p_B(H)_sap_} лежат _^{p_Ap_}. Поэтому произведение элементов a and b принадлежит _^{p_Ap_}. Таким образом, так как элементы {a_} и {b_} являются произвольными, то ассоциативное произведение в алгебре _^{p_B(H)_sap_} самосопряженных элементов векторного пространства _^{p_Ap_} принадлежит _^{p_Ap_}. Поэтому векторное пространство _^{p_Ap_} является замкнутым относительно йорданова умножения алгебры _^{p_B(H)_sap_}. В то же время, _^{p_Ap_} является замкнутым по норме подпространством алгебры _^{p_B(H)_sap_}=B(H)_sa. Следовательно, _^{p_Ap_} является JB-алгеброй и умножение в _^{p_Ap_} может быть определено также как в формулировке теоремы 1. 


Теорема 3. Пусть AJW-алгебра самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве H и {p_}бесконечное ортогональное семейство проекторов алгебры A с ТВГ равной 1 в йордановой алгебре B(H)_sa. Тогда A=_^{p_Ap_}.
Доказательство. Пусть aэлемент алгебры _^{p_Ap_} и a={a_}, где a_=p_ap_, a_=p_ap_ относительно ассоциативного умножения . Имеем aB(H)_sa=_^{p_B(H)_sap_} и для всякого конечного подмножества {p_k}_k=1ⁿ{p_} элемент (_k=1ⁿp_k)a(_k=1ⁿp_k)A. Пусть b_n^=_kl=1ⁿ p_k^ap_l^ для всяких натурального числа n и конечного семейства {p_k^}_k=1ⁿ{p_i}. Тогда в силу доказательства Теоремы 1 сеть (b_n^) слабо сходится к элементу a в _^{p_B(H)_sap_}. В то же время алгебра A слаба замкнута. Поэтому aA и _^{p_Ap_}A. В то же время A_^{p_Ap_}. Отсюда A=_^{p_Ap_}. 


Замечание 4. Из Теоремы 2 следует, что, если JB-алгебра совпадает со своим бесконечным пирсовким разложением, построенным по бесконечному ортогональному семейству попарно эквивалентных проекторов с точной верхней гранью 1, то эта JB-алгебра удовлетворяет йордановому аналогу условия Бэра.