Berri-Esseen teoremasi va isboti

Berri-Esseen teoremasi va isboti
Berri-Esseen teoremasining isboti shu paragrafda olingan natijalar
yordamida oson chiqadi. Haqiqatan ham,

Normallangan yigindining taqsimot fuksiyasini quyidagi

Normallangan yig‘indining taqsimot funksiyasi sifatida qarashimiz mumkin, bu
yerda - o‘rta qiymati nol, dispersiyasi bir va uchinchi momenti bo‘lgan tasodifiy miqdorlar..
Teorema3 ga ko‘ra har bir va barcha uchun

Bu yerda taqsimot funksiyaga mos harakteristik funksiya, (t) esa tasodifiy miqdorlarning xarakteristik funksiyasi.
Berri-Esseen tengsizligiga ni qo‘yib, ko‘rishimiz mimkinki,

Bu yerda va Berri-Esseen tengsizligining tasdig‘i sibotlandi.
Berri-Esseen teoremasi yaxshilab bo‘lmaydigan (umumiy holda) natija beradi, ya’ni umumiy aytganda Berri-Esseen teoremasi bahosi to‘g‘ri bo‘ladi. Hozir biz buni isbotlovchi bir qator faktlarni ko‘rib chiqamiz keyinroq esa Berri-Esseen teoremasidan olingandan ko‘ra aniqroq baho olish mumkin bo‘lgan yo‘llarini (ayrim hollarda) keltiramiz.
Berri-Esseen teoremasini aniqlashtirishga qiziqish ancha avvalroq ya’ni XX asrning 60-yillari oxirida paydo bo‘ldi va buning asosiy sababi Berri-Esseen teoremasidan olingan bahoning qo‘polligi bilan bog‘liq edi. (Xususan, Berri-Esseen teoremasida qatnashuvchi, quyi bahodagi o‘zgarmas absolyut qiymati natijada Berri-Esseen teoremasi bahosi tengsizlik o‘rinli bo‘lishini kafolatlashi uchun n soni 160 mingdan ortiq bo‘lishi zarur). Shu bilan bog‘liq ravishda Berri-Esseen tengsizligini aniqlashtirishga oid bir necha yo‘nalishlarda izlanishlar olib borilgan bo‘lib, ular orasidan biz tekis bo‘lmagan baholar, psevdomomentlarga bog‘liq baholar va asimptotik yoyilmalarni
keltirishimiz mumkin. Barcha Berri-Esseen teoremasini aniqlashtirish bilan bog‘liq (uning tarkibiga o‘zgarmaslarni kiritish bundan mustasno) izlanishlarlarda yoki barilgan tasodifiy miqdorlar taqsimoti haqida qo‘shimcha (dastlabki uchta moment haqidagi ma’lumotlarni taqqoslash bo‘yicha) ma’lumotlardan foydalaniladi, yoki masalaning qo‘yilishi o‘zgartiriladi va taqsimot funksiyalari orasida tekis farq bo‘lgan nozikroq miqdorlar qaraladi, ba’zan esa har ikki usul birgalikda ishlatiladi.
Dastlab Berri-Esseen teoremasi bahosining to‘g‘riligini tahlil qilishga imkon beruvchi aniq faktlar haqida gapirishdan avval oddiy bir misol ko‘rib chiqamiz bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar 0 va 1 qiymatlarning har birini ½ ehtimol bilan qabul qilsin.Yaxshi ma`lumki, yig`indi binomial taqsimotga ega va bu holda
k=0,1,2,3,…n.
n-juft son bo`lganda miqdor k kattalashganda o`sadi agar kn/2 bo`ls ava o`zining eng kata qiymatiga k=n/2 da erishadi.
n- toq son bo`lganda bo`ladi.
Juft n uchun
Stirling formulasi,
Va bundan
Bu yerda g abog`liq bo`lgan miqdorlar.
Shunday qilib, yig`indining taqsimot funksiyasi ga asimptotik teng bo‘lgan sakrashga ega. Bunda tasodifiy miqdorlarni normallash taqsimot funksiyalar sakrashini o‘zgartirmaydi, ya’ni bu tasodifiy miqdorlar normallangan yig‘indisi taqsimot funksiyasi
hamda uzluksiz taqsimot funksiyalar ega bo‘lgan sakrash ham shuncha. Bundan kelib chiqadiki,
da

Shunday qilib, bizning tasodifiy miqdorlarimiz uchun munosabat 1 ga teng,
u holda oddiy muhokamadan so‘ng Berri-Esseen teoremasi quyi bahosidagi
o‘zgarmas ekanligi kelib chiqadi. Ya’ni bu dastlab ta’kidlangan o‘zgarmas bahosidan anchagina aniqroq baho.
Biz faqatgina ko‘pkarrali tugunlar oshkor ko‘rinishda hisoblanish uchun
Bernulli taqsimotini aniq misol sifatida ko‘rib chiqdik, ammo bundan tashqari
yetarlicha umumiy bo‘lgan bir fakt bilan to‘qnash keldik: agar bog‘liqsiz bir xil taqsimlangan miqdorlar taqsimoti panjarasimon bo‘lsa, u holda
dastlabki taqsimotda boshqa qandaydir qulayroq kuchli chegaralanishlar bilan
siljitish nolga intilish tezligi da miqdor dan ortmaydi.
Haqiqatan ham, bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar h>0 qadam bilan
panjarasimon taqsimlangan bo‘lsin. Ma’lumki, ularning yig‘indilari taqsimoti ham
shunday h qadamli panjarasimon taqsimot bo‘ladi, normallangan yig‘indining
taqsimot funksiyasi

Esa qadamli panjarasimon taqsimot bo‘ladi. Panjarani ya’ni diqqatimiz
markazida turgan normallangan yig‘indi taqsimotini orqali belgilaymiz.
Ravshanki, [-1, 1) yarim intervalda panjaraning dan ortiq bo‘lmagan
nuqtalari joylashgan. Markaziy limit teorema ta’sirida da

shuning uchun [-1, 1) yarim intervalda biror n dan boshlangan taqsimot funksiya sakrashlari yig‘indisi 0,5 dan kichik emas. Bundan kelib chiqadiki, shunday n larda eng katta sakrash Shunday qilib, - normal taqsimot funksiya uzluksiz, uzilishli funksiyani uzliksiz funksiyaga aniqlik
bilan yaqinlashtirish eng katta sakrashning yarmidan o‘tib ketishi mumkin emas, u holda biror n dan boshlab

Bu tahlillar natijalari Berri-Esseen teoremasi bahosining tartibi (n bo‘yicha)
to‘g‘riligini ko‘rsatadi, ammo ular Berri-Esseen teoremasida qatnashgan miqdor dastlabki tasodifiy miqdorlar taqsimoti xarakteristikasi uchun to‘g‘ri
bo‘lishini tasdiqlashga imkon bermaydi. munosabat qaysidir ma’noda
Esseen tomonidan olingan quyidagi natija to‘g‘ri xarakteristikada ekanligidan
dalolat beradi: agar , bog‘liqsiz bir xil taqsimlangan panjarasimon
tasodifiy miqdorlar a o‘rta qiymatga, dispersiyaga va chekli uchinchi momentga ega bo‘lsa, u holda da bo‘yicha tekis holda
(8)
Bu yerdan kelib chiqadiki, da

munosabat doimo 1 dan kichik, ammo barcha taqsimot bo‘yicha uning yuqori chegarasi chekli uchinchi moment bilan 1 ga teng.
(9) dan shuningdek, Berri-Esseen teoremasi quyi bahosidagi o‘zgarmas ekanligi kelib chiqadi, ammo bu natija Bernulli sxemasini ko‘rib chiqqanimizda olingan natijadan olti marta yomonroq. (Yodda tutish lozimki, so‘z quyi baho haqida bormoqda va u qanchalik yomon bo‘lsa Berri-Esseen teoremasi analoglarida yuqori bahoni shunchalik yaxshilashiga umid bor).
Biz dastlabki F taqsimot funksiya haqidagi qo‘shimcha ma’lumotlar hisobiga Berri-Esseen teoremasini aniqlashtiruvchi ayrim baholarga ega bo‘lamiz. Dastlab bu baholarni qurishdan oldin Berri-Esseen teoremasi isbotlash yo‘lini sharhlab chiqamiz. Bunda biz dastlabki tasodifiy miqdorlar nol o‘rta qiymat va birlik dispersiyaga ega deb hisoblaymiz.
Berri-Esseen tengsizligining o‘ng qismini yodga olamiz
(10)
Berri-Esseen teoremasini isbotlashda bizga faqatgina funksiyalar
yaqinligi bahosigina emas, balki bu baho o‘rinli bo‘lgan interval uzunligi (uning
qiymati ga teng edi) ham muhim. (10) ning o‘ng qismidagi har ikki
qo‘shiluvchi o‘ta muhim bo‘lib, Berri-Esseen tengsizligini qo‘llash davomida
ayrim hollarda birinchi qo‘shiluvchi muhim ahamiyat kasb etsa, boshqa hollarda
ikkinchi qo‘shiluvchi muhim rol o‘ynaydi.
Xo‘sh, Bernullining simmetrik taqsimoti uchun va tekshirib
ko‘rish mumkinki, (10) ning o‘ng tomonidagi birinchi qo‘shiluvchi da
bo‘ladi; agar biror o‘zgarmas bo‘lib deb tanlasak, ya’ni
yuqorida ko‘rib avvalroq ko‘rib chiqqan misolimizdan n tez o‘sganda bahoni dan kamaytirib bo‘lmaydi va bunda asosiy rolni (10) ning o‘ng
tomonidagi ikkinchi qo‘shiluvchi o‘ynamoqda. Huddi shunday mulohazani
nolinchi momenti va uchinchi tartibdan yuqori absolyut momenti chegaralangan ixtiyoriy panjarasimon taqsimot uchun aytish mumkin.
Taqsimot silliq bo‘lgan hollarda (masalan, Kramer shartini qanoatlantiruvchi
taqsimotlar uchun) (10) dagi miqdorni n kattalashishi bilan eksponensial
o‘sadigan qilib tanlash mumkin, ya’ni bu holda miqdor bahosida muhim
rolni birinchi qo‘shiluvchi o‘ynamoqda.
Shuningdek, Berri-Esseen tengsizligi o‘ng qismida o‘zgarmaslar
bo‘lib, ulardan birining kamaytirilishi ikkinchisining kattalashishiga olib keladi.
Endi esa tekis o‘lchovlar uchun Markaziy limit teoremada approksimatsiya
aniqligi baholari haqida umumiy so‘z aytamiz. Quyidagi farqning bahosiga diqqat
qaratamiz

Bu yerda , bizg afaqatgina farq bahosigina emas, balki xarakteristik funksiyaning absolyut qiymatlari yuqori bahosi ham kerak bo‘ladi. Bunday baholar quyidagi tengsizlikdan kelib chiqadi
(11)
Bu yerda .(11) tengsizlik ko`rinishidan orinli emas va bunday t larda uni qo‘polroq baholarga almashtirish lozim, ammo u barcha t larda o‘rinli bo‘lgan taqdirda ham biz baribir uning yordamida uchun da erishilgan bahoni ololmaymiz.
Ko‘rish mumkinki, baholash uchun hatto F ning momentlari haqida qo‘shimcha ma’lumotlardan foydalanish hisobiga chegarani kattalashtirish mumkin emas. Huddi shunday Bernullining xarakteristik funksiyaga va momentga ega bo‘lgan simmetrik taqsimoti uchun .
. Aniq natijalarga to‘xtalamiz va avval panjarasimon taqsimot bo‘lgan holni ko‘rib chiqamiz
Nol o‘rta qiymat, birlik dispersiyaga tasodifiy miqdorlarning F panjarasimon taqsimot funksiyasi h>0 qadam ega bo‘lsin. Avvalroq keltirilgan natijalardan bunday holda mos xarakteristik funksiya moduli davrga ega va
(12)
Ixtiyoriy uchun, shu bois (12) ning oxirgi tengsizligi qat’iy. Ta’kidlash lozimki, da Mizes tengsizligi o‘rinliligini ifodalovchi tengsizlik bajariladi.
Berri-Esseenning (10) tengsizligida desak, u holda undanquyidagi bahoni olamiz
(13)
(13) dagi integral ostidagi ifodalardan birinchisining absolyut qiymati (6) tengsizlikdan kelib chiqadi va ixtiyoriy uchun

qiymatdan ortib ketmaydi. Shuning uchun (13) ning o‘ng tomonidagi birinchi
qo‘shiluvchi qiymati quyidagidan ortib ketmaydi.

Oddiy hisoblashlar ko‘rsatadiki, oxirgi tengsizlikning o‘ng tomonini quyidagi
ko‘rinishda yozishimiz mumkin

Agar biz F taqsimotning to‘rtinchi moment talab etganimizda (6) tengsizlik
o‘rniga (7) tengsizlikni qo‘llardik, u holda (13) ning o‘ng tomonidagi birinchi
qo‘shiluvchi uchun quyidagi natijaga ega bo‘lar edik

(13) tengsizlikning ikkinchi qo‘shiluvchisi quyidagidan ortib ketmaydi

Bu yerda
ya’ni (13) ning o‘ng tomonidagi qo‘shiluvchi n kattalashganda eksponensial
tezlikda kamayadi.
(13) tengsizlikning uchinchi qo‘shiluvchisi quyidagidan ortib ketmaydi

Va shuningdek n kattalashganda eksponensial tezlikda kamayadi.
Barcha olingan natijalarni jamlab, quyidagi teorema o‘rinliligini ko‘ramiz.