Berdaq nomidagi qoraqalpoq davlat universiteti

AC  tgα  y  x  tgα

(1-shakl).

Birinchi tartibli hosilaning geometrik ma’nosiga ko‘ra tgα  y^.

U holda

S  ¹ ( y  xy^  y)x .

2

Demak, M nuqtaning harakat qonuni

x ² y^  2xy  2S  0.

Differensial tenglamaning berilgan

0
y _{x x}  y₀ (yoki y(x₀ )  y₀ ) boshlang‘ich shart

bo‘yicha xususiy yechimini topish masalasi

Koshi masalasi deyiladi.

Teorema (Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi haqidagi teorema).

Agar

P₀ (x₀ , y₀ )

nuqtani o‘z ichiga olgan

D sohada

f (x, y)

funksiya va ^f

y

xususiy

1. 
   shakl.
   

hosila uzluksiz bo‘lsa, u holda

y^ 

f (x, y).

Umumiy yechimi chekli sondagi elementar almashtirishlar va kvadraturalar (elementar funksiyalarni integrallashlar) natijasida topiladigan birinchi tartibli differensial tenglamaga kvadraturada integrllanuvchi differensial tenglama deyiladi.

2. O‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar

Ushbu

M (x)dx  N ( y)dy  0 (1.3)

ko‘rinishdagi tenglamaga o‘zgaruvchilari ajralgan differensial tenglama deyiladi.

(1.3) tenglamaning umumiy yechimi uni hadma-had integrallash orqali topiladi

_ M (x)dx  _ N ( y)dy  C.

3. 
   misol. Koshi masalasini yeching:
   

2xdx x²  1

 ^dy  0 ,

_y2

y(0)  1.

O‘zgaruvchilari ajralgan differensial tenglama berilgan.

Uni hadma-had integrallaymiz:


2xdx x²  1

 ^dy  0 .


_y2

Bundan tenglamaning umumiy yechimini topamiz:

ln | x²  1|  ¹  C

y

yoki

y  ¹ .

ln | x²  1| C

Koshi masalasini yechish uchun tenglamaning umumiy yechimidan

y(0)  1 shartni qanoatlantiruvchi C ni aniqlaymiz:

1  ¹ ,

ln | 1| C

C  1.

Demak, Koshi masalasining yechimi

y  ¹

ln | x ²  1| 1

(1.4) tenglama

N₁ ( y)M ₂ (x)

ifodaga hadma-had bo‘lish orqali

o‘zgaruvchilari ajralgan tenglamaga keltiriladi

(1.4) tenglamani

M ₁ (x) _{dx }

M ₂ (x)

N₁ ( y)M ₂ (x)

^{N2 ( y)} dy  0 .

N₁ ( y)

ifodaga hadma-had bo‘lishda ayrim

1 2
yechimlar tushib qolishi mumkin. Shu sababli bunda N ( y)M (x)  0

tenglamani alohida yechish va bu yechimlar orasidan maxsus yechimlarni ajratish kerak bo‘ladi.

3. 
   misol. Koshi masalasini yeching:
   

(1  x² )dy  (1  y² )dx  0, y(0)  1.

Tenglamani

(1  x² )(1  y² )  0

ga bo‘lib, o‘zgaruvchilarni ajratamiz:

Bu tenglamani integrallaymiz:

dx

1  x²

• 
  dy
  

1  y²

 0 .

arctgx  arctgy  C .

Bundan

tg(arctgx  arctgy)  tgC,

x  y

1  xy

 C₁ ,

bu yerda

C  tgC

yoki

1
_{y } C₁  x _.

1  C₁ x

C₁ o‘zgarmasning qiymatini boshlang‘ich shartdan topamiz: C₁  1.

Demak, berilgan Koshi masalasining yechimi

_{y } 1  x _.

1  x

(1.5) tenglama

y^  ^dy

dx

o‘rniga qo‘yish orqali o‘zgaruvchilari ajralgan

tenglamaga keltiriladi.

dy _

f₂ ( y)

f₁ (x)dx

u  3x  2 y  5,

u^  3  2 y^

o‘rniga qo‘yishlar bajarib,

y^  3x  2 y  5

tenglamani o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga keltiramiz:

Bundan

3  u^  2u

yoki

^du  3  2u.

dx

du

2u  3

Bu tenglamani integrallaymiz:

¹ ln | 2u  3 | x  ln C 2

 dx .

yoki

2u  3  Ce^{2 x} .

Teskari o‘rniga qo‘yish bajarib, berilgan tenglamaning umumiy yechimini topamiz:

6x  4 y  7  Ce^{2 x} .

3. Bir jinsli differensial tenglamalar

Agar f (x, y) funksiyada x va y o‘zgaruvchilar mos ravishda tx va ty ga

almashtirilganda (bu yerda

t  ixtiyoriy parametr)

f (tx,ty) 

f (x, y) shart

bajarilsa,

f (x, y)

funksiyaga bir jinsli funksiya deyiladi.

Agar

y^ 

f (x, y)

differensial tenglamada

f (x, y)

bir jinsli funksiya

bo‘lsa, bu tenglamaga bir jinsli differensial tenglama deyiladi.

Bir jinsli differensial tenglama almashtirishlar orqali

 
y^  ϕ^{ y }

x

 

ko‘rinishda yozib olinadi va keyin

^y  u x

( u  u(x) noma’lum funksiya)

o‘rniga qo‘yish orqali o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga keltiriladi.

6  misol.

y^ 

y _ln y

tenglamaning umumiy yechimini toping.

x x

Tenglama bir jinsli. Shu sababli

bajaramiz.

y  ux,

y^  u^x  x

o‘rniga qo‘yishni


Tenglamani integrallaymiz:

Bundan

du

^ u(ln u  1)

_ dx x

yoki

ln | ln u  1| ln | x |  ln C.

u  ^y

x

ln u  1  xC

ekanini inobatga olib, topamiz:

yoki

_{u  e}Cx 1 _.

^y _{ e}Cx1 x

yoki

y  xe^Cx1 .

7-misol. Tekislikdagi egri chiziqning ixtiyoriy M nuqtasiga o‘tkazilgan urinmaning ordinatalar o‘qida ajratgan kesmasi urinish nuqtasining abssissasiga teng. Egri chiziqlar oilasini toping.

M (x; y)

noma’lum (izlanayotgan) egri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi

bo‘’lsin. Masalaning shartiga ko‘ra: OA  OC  x.

ADM

va MBC

uchburchaklarning

o‘xshashligidan (2-shakl):

AD _ MC _.

Bunda

DM CB

AD  AO  DO  AO  MC  x  y,

DM  OC  x,

^MC  tg(180^o  α )  tgα ,

CB

bu yerda tgα  y^ .

U holda

^{x  y}   y^

x
yoki
y^ 

y  x _.

x

Bir jinsli tenglama hosil bo‘ldi.

Uni yechamiz:

2. 
   shakl.
   

u^x  u  u  1,

u^x  1,

du   ^dx ,

x

u  C  ln | x | .

1
Agar c va c

tenglama:

(yoki ulardan biri) noldan farqli bo‘lsa, u holda (1.6)

1. 
   ab₁  a₁b  0 bo‘lganda
   

24. 
     x₁  α ,
    

y  y₁  β almashtirishlar orqali bir

jinsli tenglamaga keltiriladi;

2) ab₁  a₁b  0

bo‘lganda

z  ax  by

o‘rniga qo‘yish orqali o‘zgaruvchilari

ajraladigan tenglamaga keltiriladi.

(1.6) tenglamani integrallashda qo‘llaniladigan usul

dy ^ ax  by  c ^

 f ^{ }

dx a x  b y  c

 1 1 1 

(bu yerda f  ixtiyoriy funksiya) tenglamani integrallashda ham qo‘llaniladi.

8. 
   misol.
   

y^ 

2x  y 1

1 1
 x  2 y  3

tenglamaning umumiy yechimini toping.

Shartga ko‘ra:

Bu koeffitsiyentlardan

a  2,

b  1,

a₁  1,

b₁  2,

ab  a b  2  2  (1) 1  5  0.

sistemani tuzamiz. Uning yechimi:

U holda


α  1,

_ 2α  β  1  0,



^ α  2β  3  0

β  1.

kelib chiqadi.

Bu tenglamani yechamiz:

dy₁ dx<sub>1

</sub> 2x₁  y₁

 x₁  2 y₁

1
u^x

• 
  u 
  

2  u


2u  1

yoki

(2u  1)du


2(1  u  u ² )

_ dx_{1 .}

x₁

Bu tenglamani integrallaymiz:

1  u  u ²  ^C

x

.

2
1

8. 
   misol.
   

_{y  } 2x  3y  1

4x  6 y  5

tenglamaning umumiy yechimini toping.

Shartga ko‘ra:

a  2,

b  3,

a₁  4,

b₁  6.

Bundan

ab  a b  2  (6)  (4)  3  0.

Shu sababli

2x  3y  1  u

belgilash

1 1
kiritamiz. Bundan

2  3y^  u^

yoki

_{y } u^  2 _.

3

U holda berilgan tenglama

u^  2 _{ } u

3

ko‘rinishga keladi. Bundan

2u  3

^{2u  3} du  dx u  6

tenglama kelib chiqadi. Uni integrallaymiz:

2u  9ln | u  6 | x  C.

x va y o‘zgaruvchilarga qaytamiz:

x  2 y  3ln | 2x  3y  7 | C ,

bu yerda

_{C } C  2 _.

3

Bir jinsli bo‘lmagan ayrim differensial tenglamalar

y  zⁿ , y^  nz^n1 z^

o‘rniga qo‘yishlar orqali bir jinsli tenglamaga keltirilishi mumkin.

8. 
   misol. keltiring.
   

2x ² y^  y³  xy

tenglamani bir jinsli tenglama ko‘rinishiga

Berilgan tenglamada

bajaramiz:

y  zⁿ ,

y^  nz^n1 z^

o‘rniga qo‘yishlarni

2x ² nz^n1 z^  z ³ⁿ  xzⁿ .

Bu tenglama barcha hadlarining daraja ko‘rsatkichlari teng bo‘lganda bir

jinsli bo‘ladi : 2  n  1  3n  n  1.

4. Chiziqli differensial tenglamalar

Noma’lum funksiya va uning hosilasiga nisbatan chiziqli bo‘lgan

y^  P(x) y  Q(x)

tenglamaga chiziqli bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglama deyiladi,

(1.7)

bu yerda P(x), Q(x)  0  x ning uzluksiz funksiyalari (yoki o‘zgarmaslar).

Ushbu
y^  P(x) y  0
(1.8)

(1.7) tenglamaga mos chiziqli bir jinsli tenglama deyiladi. Chiziqli bir jinsli tenglama o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglama bo‘ladi.

Chiziqli bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglamaning yechimi x ning

ikkita funksiyasi ko‘paytmasi

y  u(x)  v(x)

ko‘rinishida izlanadi. Bunda

funksiyalardan biri, masalan v(x) , tanlab olinadi va ikkinchisi (1.7)

tenglkdan aniqlanadi. Chiziqli tenglamani yechishning bu usuliga Bernulli usuli deyiladi.

8. 
   misol.
   

y^ 

y _ x

x 1  x²

tenglamaning umumiy yechimini toping.

Berilgan tenglama chiziqli:

P(x)   ¹ ,

x

Q(x) 

x _.

1  x ²

y  uv,

y^  u^v  v^u

o‘rniga qo‘yishni bajaramiz:

x

 
u^v  u^ v^  ^{v }  ^x .

Bu tenglamadan

^{ } 1  x ²

x
^ v^  ^v  0,



x


^u^v 

 1  x²

sistema kelib chiqadi. Sistemaning birinchi tenglamasini integrallaymiz:

dv _ dx _{, } dv _{ } dx _,

ln | v | ln | x | ln C,

v  Cx

Birinchi bosqichda (1.7) tenglamaga mos bir jinsli (1.8) tenglama yechiladi:

_{y  Ce}_ P ( x ) dx _.

Ikkinchi bosqichda (1.7) tenglamaning umumiy yechimi
_{y  Ce}_ P ( x ) dx

ko‘rinishda izlanadi. Bunda C o‘zgarmas biror differensiallanuvchi

C(x)

funk-siyaga tenglashtiriladi, ya‘ni C o‘zgarmas variatsiyalanadi.

Chiziqli differensial tenglamalarni yechishning ixtiyoriy

o‘zgarmasni variatsiyalash usulida yechimning ko‘rinishini yodda saqlash shart emas, balki bu yechimni topish algoritmini bilish muhim: birinchi bosqichda berilgan tenglamaga mos bir jinsli tenglama yechiladi va ikkinchi bosqichda bir jinsli bo‘lmagan tenglamaning yechimi topilgan bir jinsli tenglamaning yechimi ko‘rinishida izlanadi, buhda ixtiyoriy o‘zgarmas o‘zgaruvchi miqdor deb hisoblanadi.

U holda (1.7) tenglamaning umumiy yechimi

y  e ^ P ( x)dx (_Q(x)e^ P ( x )dx dx  C)

ko‘rinishda bo‘ladi.

8. 
   misol.
   

y^ 

2

x  1

y  (x  1)³ tenglamani ixtiyoriy o‘zgarmasni

variatsiyalash usuli bilan yeching.

Berilgan tenglamaga mos bir jinsli tenglamani yechamiz:

y^ 

2

x  1

y  0,

dy _

y

2 _,

x  1

ln y  2ln | x  1| ln C,

y  C(x  1)² .

Berilgan tenglamaning yechimini

y  C(x)(x  1)²

ko‘rinishda izlaymiz.

Bundan

y^  C^(x)(x  1)²  2C(x)(x  1).

y va y^ ni berilgan tenglamaga qo‘yamiz:

C^(x)(x  1)²  2C(x)(x  1)  2C(x)(x  1)  (x  1)³ .

U holda
C^(x)  (x  1),
C(x) 
(x  1)²



C .

2

8. 
   misol. O‘zgarmas elektr toki zanjirida qisqa tutashuv vaqtida tok kuchining o‘zgarish qonunini toping.
   

Agar

R  zanjirning qarshiligi,

E  tashqi elektr yurituvchi kuch

(EYK) bo‘lsa, u holda

I  I (t) tok kuchi noldan

^E qiymatgacha o‘sib boradi.

R

L  zanjirning induksiya koeffitsiyenti bo‘lsin. U holda tok kuchining

har qanday o‘zgarishida zanjirda qiymati

_L dI

dt

ga teng va tashqi EYKga

qarama-qarshi yo‘nalgan EYK hosil bo‘ladi. Om qonuniga ko‘ra har bir

t vaqtda tok kuchining qarshilikka ko‘paytmasi qarama-qarshi yo‘nalgan tashqi va ichki EYKlar yig‘indisiga teng bo‘ladi:

IR  E  L ^dI

yoki

dI _ R _{I } E

(E, L, R  const).

dt dt L L

Oxirgi tenglama bir jinsli bo‘lmagan chiziqli differensial tenglama.

Bu tenglamaga mos bir jinsli tenglamani yechamiz:

dI _ R _I dt L

 0,

dI _{ } R I L

dt,

ln I  

• 
  ^Rt
  

^R t  ln C,

L

I  Ce

• 
  ^Rt
  

L _.

Tenglamaning yechimini

Bundan

I  C(x)e

^L ko‘rinishda izlaymiz.

I ^ 

C(x)e

• 
  ^Rt L
  
  • 
    C(x)
    

_R  ^Rt

e ^L .

L

I va I ^ ni berilgan tenglamaga qo‘yamiz:

C^(x)e

• 
  ^R t L
  
  • 
    C(x)
    

_R  ^Rt

_e L

L

• 
  ^R C(x)e L
  

• 
  ^Rt L
  

 ^E .

L