Berdaq nomidagi qoraqalpoq davlat universiteti

3-teorema. Agar (3.1) tenglamaning ikkita

y₁ (x) va

y₂ (x)

xususiy

yechimi

[a;b]

kesmada fundamental sistema tashkil qilsa, u holda

(3.1) tenglamaning umumiy yechimi

y(x)  C₁ y₁ (x)  C₂ y₂ (x) , (3.4)

ko‘rinishda bo‘ladi, bu yerda C₁ , C₂  ixtiyoriy o‘zgarmaslar.

Berilgan tenglamada

p(x)   ² ,

x

q(x)  ²

_x2

. Shu sababli

y  x va

y  x²

1

2
yechimlarning yagonalik sohasi D {(x, y) : x  0}. D sohada

^y2

y₁

 _x 2

x

 x  const . Demak,

y  x va

y  x²

yechimlar fundamental sistema

1

2
tashkil qiladi va berilgan tenglamaning umumiy yechimi


1 2
y  C x  C x ² .

(3.1) tenglamaning umumiy yechimini topish uchun uning fundamental sistema tashkil qiluvchi ikkita xususiy yechimini bilish yetarli bo‘ladi.

Agar xususiy yechimlardan bittasi

y₁ berilgan bo‘lsa,


1
x

y₂ yechim

1

2
formula bilan aniqlanadi.

y  y _

• 
  _ p ( x )dx
  

y

e

2
x⁰ dx

1

(3.5)