Berdaq nomidagi qoraqalpoq davlat universiteti

Bırınchı tartıblı dıfferensıal tenglamalar.

1. Asosiy tushunchalar. Kvadraturada integrallanuvchi birinchi tartibli differensial tenglamalar.

Hosilada nisbatan yechilmagan differensial tenglamalar.
Erkli o‘zgaruvchi, noma’lum funksiya va uning hosilalarini (differensiallarini) bog‘lovchi tenglamaga differensial tenglama deyiladi.

Noma’lum funksiyasi bitta o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lgan differensial tenglama oddiy differensial tenglama deb ataladi.

Differensial tenglamaga kiruvchi hosilalarning (differensiallarning) eng yuqori tartibiga differensial tenglamaning tartibi deyiladi.

Birinchi tartibli oddiy differensial tenglama umumiy ko‘rinishda

kabi yoziladi, bu yerda

F (x, y, y^)  0

x  erkli o‘zgaruvchi,
y  noma’lum funksiya,

(1.1)

y^ 

noma’lum funksiyaning hosilasi,

F ikki o‘lchamli R ²

sohada ikki

o‘zgaruvchili funksiya.

Agar (1.1) tenglamani y^ ga nisbatan yechish mumkin bo‘lsa, tenglama

y^ 

f (x, y)

(1.2)

ko‘rinishda ifodalanadi, bu yerda f  berilgan funksiya. Bu tenglamadan

differensiallar ishtirok etuvchi simmetrik shakl deb ataluvchi

M (x, y)dx  N (x, y)dy  0

tenglamaga o‘tish mumkin.

(1.1) differensial tenglamaning yechimi (integrali) deb, tenglamaga

qo‘yganda uni ayniyatga aylantiradigan differensiallanuvchi funksiyaga aytiladi.

y  ϕ(x)

(1.2) differensial tenglamaning umumiy yechimi deb, quyidagi shartlarni

qanoatlantiruvchi

y  ϕ(x, C)

(bu yerda

C  ixtiyoriy o‘zgarmas)

funksiyaga aytiladi.

1. 
   boshlang‘ich
   

^y x x ^{ y}0

shart har qanday bo‘lganda ham ixtiyoriy

0
o‘zgarmasning shunday C qiymatini topish mumkinki,

y  ϕ(x, C )

yechim

boshlang‘ich shartni qanoatlantiradi, ya’ni

y  ϕ(x ,C )

bo‘ladi.

0

0
(1.2) differensial tenglamaning umumiy yechimidan ixtiyoriy o‘zgarmasning tayin qiymatida hosil bo‘ladigan har qanday yechimga xususiy yechim deyiladi.

Differensial tenglama yechimining grafigi integral egri chiziq deb

ataladi. (1.2) differensial tenglama integral egri chiziqning har bir

M (x, y)

nuqtasida bu egri chiziqqa o‘tkazilgan urinmaning yo‘nalishini aniqlaydi.

Tekislikning har bir nuqtasiga

tgα 

f (x, y)

tenglik bajariladigan qilib kesma

qo‘yilgan qismi (1.2) differensial tenglamaning yo‘nalishlar maydoni deyiladi. Shunday qilib, (1.2) differensial tenglamaga uning yo‘nalishlar maydoni mos keladi. Bu jumla (1.2) differensial tenglamaning geometrik ma’nosini bildiradi.

Differensial tenglamada uning umumiy yechimidan ixtiyoriy o‘zgarmasning hech bir qiymatida hosil qilinishi mumkin bo‘lmagan yechim maxsus yechim deb ataladi.

Maxsus yechimning grafigi umumiy yechimga kirgan integral egri chiziqlarning o‘ramasi deb ataluvchi chiziqdan iborat bo‘ladi va u

_ (x, y, C)  0,

^^ (x, y, C)  0

 C

sistemadan C ni yo‘qotish orqali topiladi. Bunda hosil bo‘lgan y  g(x)

funksiya (1.1) differensial tenglamani qanoatlantirishi va kirmasligi kerak.

(x, y, C)  0

oilaga

Matematika, fizika, kimyo va boshqa fanlarning turli masalalari

differensial tenglamalar ko‘rinishidagi matematik modellarga keltiriladi.

1. 
   misol. Massasi m ga teng moddiy nuqta v tezlikning kvadratiga proporsional bo‘lgan muhit qarshilik kuchi ta’sirida harakatini sekinlatmoqda. Nuqta harakat qonunining tenglamasini tuzing.
   

Erkli o‘zgaruvchi sifatida moddiy nuqtaning sekinlashish boshlanishidan hisoblanuvchi t vaqtni olamiz. U holda nuqtaning v tezligi

t vaqtning funksiyasi bo‘ladi, ya’ni v  v(t) .

Bu masalada

F  kv² ,

bu yerda

k  0  proporsionallik koeffitsiyenti

(minus ishora harakatning sekinlashishini bildiradi).

Shunday qilib, moddiy nuqtaning harakat qonuni

mv^  kv²  0 .

tenglama bilan aniqlanadi.

2. 
   misol. Tekislikdagi egri chiziqning ixtiyoriy M nuqtasiga o‘tkazilgan urinma, bu nuqtadan Oy o‘qqa parallel o‘tgan to‘g‘ri chiziq va koordinata o‘qlari bilan chegaralangan OAMB trapetsiyaning yuzi S ga teng. M nuqta harakat qonuni tenglamasini tuzing.
   

bo‘lsin.

M (x; y)

noma’lum (izlanayotgan) egri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi

U holda OAMB trapetsiyaning yuzi

S  ¹ (OA  BM )  OB

2

tenglik bilan

ifodalanadi, bu yerda

OB  AC  x,

BM  y,

OA  CB  BM

• 
  CM
  

 BM

•