Балашовский филиал

Замечание 2. При нахождении расстояния между точкой утопии
и идеальной точкой, учитывая топологию множества Парето, был применен «геометрический» метод. В общем случае задача нахождения расстояния между указанными точками решается как экстремальная. Необходимо найти на множестве Парето точку, такую, что расстояние между ней и точкой утопии минимально:
→ min,
или, опуская знак квадратного корня,
→ min,
где и — неизвестные координаты искомой точки I, а и — уже найденные координаты точки утопии U.
Предлагается в качестве упражнения определить в задаче примера 1 идеальную точку только что описанным способом.
Пример 2. Найти значения переменных, при которых функции
= → max;
= → min
при тех же ограничениях, что и в примере 1.
Решение. Введем функцию = . Тогда, согласно замечанию 1, исходная задача преобразуется в задачу максимизации
= → max;
= → max.


Рис. 48. Геометрическая интерпретация задачи максимизации

Ограничительные условия те же, что и в примере 1. Они определяют на плоскости многоугольник ABCDE (Рис. 45), который функции = и = переводят в многоугольник A*B*C*D*E*. Его вершины в плоскости (пространстве критериев) имеют соответственно координаты: ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ) (Рис. 48).

Множество Парето образуют точки ломаной B*C*D*. Как и в примере 1, в условии не сказано, что считать точкой утопии. Поэтому снова выбираем комбинацию наилучших значений всех критериев. В данном случае это точка U с координатами (заметим, что в исходной задаче ей соответствует точка с координатами , и, следовательно, в исходной задаче точкой утопии является она). Из Рис. 48 видно, что точка, принадлежащая ломаной B*C*D* и находящаяся на минимальном расстоянии от точки утопии, должна принадлежать отрезку C*D*. Обозначим ее через ( ; ). Для отыскания ее координат воспользуемся способом, описанным в замечании 2. Согласно этому способу, нужно минимизировать функцию расстояния между точкой ( ; ) и точкой U :
→ min,
или
→ min.
Составим уравнение прямой C*D* (подробности см. в примере 1). Имеем
, или + =4.
Точка принадлежит множеству точек отрезка C*D*. Следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению прямой C*D*: + = 4, или Это означает, что минимизируется функция на отрезке . Вычисляем производную и находим стационарную точку: Легко видеть, что < 0 на промежутке и > 0 на промежутке . Следовательно, — точка минимума функции на отрезке ,
а — точка минимума функции = в замкнутой области, определяемой неравенствами
и , при этом =
= . Заметим, что в исходной задаче точке соответствует точка .
Соответствующие значения найдем из системы линейных уравнений

Имеем
Таким образом, Парето-оптимальное решение достигается при При этом идеальная точка находится от точки утопии на расстоянии .