Бакалаврская работа на тему

Пример 1 ( № 2 из журнала «Математика в школе» [6, С. 9]).
При повороте около своего центра на угол равносторонний треуголь-
ник 
отобразился на треугольник
. Точки пересечения сторон 
и 
, 
и 
, 
и 
обозначили 
. Докажите, что тре-
угольник 
- равносторонний. 
Решение: 
Треугольники 
и 
равны, поскольку при движении, а 
поворот - это один из видов движе-
ния, сохраняются расстояния между 
точками .
Повернем отрезки 
и 
, 
пересекающиеся в точке 
, на
120 °. Они отобразятся на отрезки 
и 
, а 
перейдет в 
, это 
видно из (Рис. 14) и утверждения: 
при повороте пересечение фигур 
отображается на пересечение их об-
разов. Так как при повороте сохраняются расстояния между точками, то 
и 
=
С. 
Проведя аналогичные рассуждения для отрезков 
и 
, 
и 
, 
получим, что 
и 
. 
Теперь легко доказать, что 
равносторонний треугольник. Это 
вытекает из равенства трех треугольников 
, 
и 
, в кото-
рых углы при вершине 
и А равны 60°. 
Следовательно, треугольник 
- равносторонний. 
Рис. 14. 
С 
С
1
В
1
А 
В 
А
1
В
2
А
2
С
2
О 

---

32 
Пример 2 (№ 4 из журнала «Математика в школе» [6, С. 9]).
В данный квадрат впишите равносторонний треугольник так, чтобы 
одна из его вершин совпала с вершиной квадрата, а две другие принадлежали 
сторонам квадрата. 
Решение: 
Предположим, что задача решена и 
равносторонний вписанный в 
квадрат треугольник, в котором вершина принадлежит стороне 
, а вер-
шина - стороне 
.
Или, можно сказать, что 
точка пересе-
чения прямых 
и 
, а точка 
прямых 
и 
(Рис. 15). 
При повороте на 60° около точки 
пересекающиеся в точке прямые 
и 
отображаются на прямые 
и а и точку 
их пересечения Е, но Е также является точ-
кой пересечения и для прямых 
и 
. 
Таким образом, найден способ по-
строения вершины треугольника . Она является пересечением прямой 
и 
образа прямой 
при повороте около точки на 60°. Вершина может 
быть получена при помощи поворота на - 60° около точки точки .