Isboti. Agar u1 , . . .. , uk sistema faqat nol vektorlardan to'zilgan bo'lsa, uning rangi nolga teng va v1 ,... , vm sistemaning rangidan katta emas.
Agarda birinchi u1 , . . .., uk sistemada birorta noldan farqli vektor mav-jud bo'lsa, v1 ,... , vm sistema ham noldan farqli vektorga ega bo'ladi(teorema-ning shartiga ko'ra). U holda ikkala sistema ham bazisga ega. u1 , . . .., ur bi-rinchi sistemaning bazisi; v1 ,... , vs esa ikkinchi sistemaning bazisi bo'lsin. U holda v1 ,... ,vs sistema v1 ,... ,vm ga ekvivalent va demak L(v1 ,...,vs)= L(v1 ,..., vm).
Shunday qilib u1 , . . . , ur L(v1 ,... , vs ) va r s.
Natijalar:
1. Berilgan sistemaning rangi uning ixtiyoriy qismi sistemaning rangidan kichik emas.
2. Ekvivalent sistemaning ranglari o'zaro teng.
3. n- o'lchovli vektorli fazodagi Ixtiyoriy chekli sistemaning rangi n.
Haqiqatdan ham L(е1 , е2 ,... , еn)=Rn va a1 , ... , am , L(e1 , e2 ... , en)= Rn bo'lsa, 1 ga ko'ra a1, ... , am ning rangi e1 , e2 ... , en ning rangi n dan katta emas.
4. Agar chekli sistemaning rangi r ga teng bo'lsa, uning Ixtiyoriy k ta vek-tordan to'zilgan qismiy sistemasi k > r bo'lganda, chiziqli bog'langandir.
5. Agar
a1, ... , am (5)
sistemaning rangi
a1, ... , am ,b (6)
sistemaning rangiga teng bo'lsin. U holda b vektor (5) sistemadagi vektorlar orqali chiziqli ifodalanadi.
Isboti. Tushunarliki, agar ikkala sistemaning ham rangi nolga teng bo'lsa, teorema o'rinli. Faraz etaylik, (5)-sistemaning rangi r > 0 ga teng bo'lsin va a1, a2 ... , ar uning bazisi bo'lsin. U holda ikkinchi sistemaning ran-gi ham r ga teng bo'ladi va a1, a2 ... , ar sistema (6) ning qismi bo'lgani uchun a1, ... , ar ,b chiziqli bog'langan, demak, b L(a1 , ... , аr). U holda bL(a1,...,ar ..., am)
ya'ni b= 1 a1 + 2 a2 + ... + m am.
Kompleks sonlar maydoni ustida aniqlangan V vektorlar fazosi berilgan
bo’lsin.
Ta’rif. Agar V fazoning har bir juft x va y elementlariga ularning
skalyar ko’paytmasi deb ataluvchi yagona (x, y) haqiqiy son mos qo’yilib, bu
moslik uchun
aksiomalar bajarilsa, u holda V vektorlar fazosiga skalyar ko’paytmali fazo
deyiladi.
Yuqoridagi aksiomalardan skalyar ko’paytmaning quyidagi xossalari kelib
chiqadi:
Ta’rif. Agar V fazoning istalgan vektori uchun (x, x) 0 bo’lsa, V fazoda aniqlangan skalyar ko’paytma xosmas skalyar ko’paytma deyiladi.
Ta’rif. Agar V fazoning istalgan x va y vektorlari uchun (x, y) 0 bo’lsa, V fazoda aniqlangan skalyar ko’paytma nol skalyar ko’paytma deyiladi. Biz bundan keyin faqatgina xosmas skalyar ko’paytmaga ega bo’lgan fazolar bilangina shug’ullanamiz.
Ta’rif. Agar V fazoning istalgan x 0 vektori uchun (x, x) 0 bo’lsa, bunday fazoga unitar fazo deyiladi.
Ta’rif. Agar unitar fazoning ikkita x va y vektorlari uchun (x, y) 0 bo’lsa, u holda x va y vektorlar ortogonal vektorlar deyiladi.
Ta’rif. Agar V fazoning a1 , a 2 ,..., an (1) vektorlar sistemasining istalgan ikkita elementi o’zaro ortogonal bo’lsa, u holda (1) sistema ortogonal vektorlar sistemasi deyiladi.
Teorema. Agar V xosmas skalyar ko’paytmali vektor fazo bo’lsa, u holda V fazoning nolmas vektorlaridan tuzilgan ortogonal vektorlar sistemasi chiziqli erkli bo’ladi.
Ta’rif. Agar ortogonal vektorlar sistemasi qaralayotgan fazoning bazisi bo’lsa, bunday sistema ortogonal bazis deyiladi.
Misol. e1 (1,0,0), e 2 (0,1,0), e 3 (0,0,1) sistema R3 fazoning ortogonl
bazisi bo’ladi.
R maydon ustida aniqlangan Vn fazoning ixtiyoriy g1,g2,...gn (1) bazisiga asoslanib e1,e2,..en. (2) Ortaganal bazis tuzish jaroyoni bilan taniwamiz Bu erda (1) dan (2) ni hosil Qilish jarayoni deyilib u quydagilardan iborat e1=g1 deb olamiz g1#0 bolgani uchun e1#0 bòladi. Endi e2 vektorni e2=g2+ąg1=g2+ąe1 shaklda olib ą sonni shundey aniqlaylikki natijsda (e1,e2)=0 ya'ni
Do'stlaringiz bilan baham: |