Bajardi: 19. 03- guruh talabasi : Abduhalilova Sarvinoz. Qabul qildi

2-2-§. Vektorlar sistemasidagi element almashtirishlar .

Chekli vektorlar sistemasidagi elementar almashtirishlar deb quyidagilarga aytiladi:

1). Sistemadagi biror vektorni  songa ko'paytirish;

2). Sistemadagi biror vektorni  ga ko'paytirib ikkinchi bir vektorga qo'shish;

3). Sistemadan nol vektorni chiqarib tashlash yoki nol vektorni qo'shish.

1) va 2)-elementar almashtirishlarga xosmas, 3) ga esa xos almashtirish deyiladi.

1-teorema. Agar chekli sondagi vektorlarning biror sistemasi ikkinchi bir vektor sistemasidan element almashtirishlar yordamida hosil qilingan bo'lsa, bu ikki sistema o'zaro ekvivalent bo'ladi.

Isboti. Faraz etaylik ,

a₁, a₂ , . . . , a_m (1)

vektorlar sistemasi berilgan bo'lsin . Agar yangi sistema (1) dan 1) almashtirish natijasida hosil qilingan bo'lsa , u holda

 a₁, a₂ , . . . , a_m (2)

sistema hosil bo'ladi va (1) hamda (2) larning ekvivalent ekanligi ta'rifdan bevosita kelib chiqadi . Agar yangi sistema

a₁+  a₂, a₂ , . . . , a_m (3)

ko'rinishda bo'lsa ham (1) va (3) lar ekvivalentdir.

Endi vektorli fazolar nazariyasining asosiy tushunchalaridan biriga ta'rif beramiz.

Ta'rif. Berilgan chekli sondagi vektorlar sistemasining bazisi deb uning chiziqli bog'lanmagan va berilgan sistemaga ekvivalent bo'sh bo'lmagan qismiy sistemasiga aytiladi.

Boshqacha so'z bilan aytganda berilgan vektorlar sistemasidagi har bir vektorni ifodalash mumkin bo'lgan, chiziqli bog'lanmagan, bo'sh bo'lmagan qismiy sistemadir.

2-teorema. Agar chekli vektorlar sistemasida hech bo'lmasa birorta noldan farqli vektor mavjud bo'lsa, bu sistema bazisga ega. Berilgan sistemaning har qanday ikkita bazisi bir xil sondagi vektorlardan to'zilgan bo'ladi.

Isboti. Faraz etaylik, chekli sondagi hech bo'lmasa birortasi noldan farqli bo'lgan vektorlar sistemasi

u₁, u₂ , . . . , u_k , . . . , u_m (4)

berilgan bo'lsin. Bu sistemadagi nol vektorlarni tashlab yuborish mumkin, chunki hosil bo'lgan sistema (4) sistemaga ekvivalent bo'ladi. Shuning uchun ham u₁ deb olishimiz mumkin. Agar (4) chiziqli erkli bo'lsa uning o'zi bazis bo'ladi. Agarda (4) sistema chiziqli bog'langan bo'lsa, u holda bu sistemadagi u_k vektor o'zidan oldingi vektorlarning chiziqli kombinasiyasidan iborat bo'ladi, ya'ni u₁, u₂ , . . . , u_k-1 , u_k+1 , , . . . , u_m sistema (4) ga ekvivalent va kamida birta noldan farqli vektor o'nga qarashli. Shu jarayonni davom ettirib chekli qadamdan keyin birortasi ham qolganlarining chiziqli kombinasiyasidan iborat bo'lmagan sistemaga ega bo'lamiz va u bazis bo'ladi.

Agar u₁, u₂ , . . . , u_k va v₁, v₂ , . . . , v_s lar berilgan sistemaning bazislari bo'lsalar, ular ekvivalent bo'ladi va demak k=s.

Ta'rif.Berilgan vektorlar sistemasining bazisini tashkil etuvchi vektorlar soniga shu sistemaning rangi deyiladi.

Faqat nol vektordan to'zilgan sistemaning va bo'sh sistemaning rangi nolga teng deb hisoblanadi.

Xossalari.

1. Agar u₁ , u₂ , . . . , u_k L(v₁ , v₂ ,... , v_m ) bo'lsa, u₁ , u₂ , . . . , u_k vektorlar sistemasining rangi v₁ , v₂ ,... , v_m vektorlar sistemasining rangidan katta emas.