Bajardi: 19. 03- guruh talabasi : Abduhalilova Sarvinoz. Qabul qildi

I BOB. n -o'lchovli arifmetik fazo. Chiziqli bog'langan va

chiziqli bog'lanmagan vektorlar sistemalari.

1.1-§. n -o'lchovli arifmetik fazoning ta'rifi;

1. n ta tartiblangan haqiqiy sonlar  ₁, ₂ ,..., _n dan to'zilgan (₁,₂, ...,_n) n- likka n-o'lchovli vektor deb aytiladi va ₁, ₂ , ..., _n larni vektorning koordinatalari deyiladi.

Barcha mumkin bo'lgan n -o'lchovli vektorlar to'plamini Rⁿ bilan belgilaymiz. Rⁿ dagi a=(₁, ₂, . . . ,_n) va b=(₁ ,₂ , . . . , _n ) elementlarning tengligi, yig'indisini va R dan olingan  soniga ko'paytmasini quyidagicha aniqlaymiz:

1). (а=b)  ( ₁₁ , ₂₂ , . . . , _n_n ) ;

2). a+b = (₁+₁ , ₂+₂ , . . . , _n+_n ) ;

3). a= ( ₁, ₂, ... , _n).

Tushunarliki, u holda a,b Rⁿ uchun a+b Rⁿ hamda R, aRⁿ uchun aR bajariladi.  soniga ko'paytirish amali Rⁿ dagi unar algebraik amal bo'lib, uni biz yezuvda qulaylik uchun  _ bilan belgilaymiz. (0 ,0, . . . , 0) vektor nol vektor deyiladi va  bilan belgilanadi.

2) ga asosan а+ = + а = а bo'lgani uchun  vektor qo'shish amaliga nisbatan neytral element bo'ladi .

(- 1) (₁, ₂, . . . ,_n) vektorga а= (₁, ₂, . . . ,_n) ga qarama- karshi vektor deyiladi. а+(-1) а= bo'lgani uchun (- 1) а= -а bilan belgilanadi .

1- таъриф. Rⁿ to'plamga unda aniqlangan qo'shish va songa ko'paytirish amaliga nisbatan (ya'ni  Rⁿ ; + ,  _  algebraga ) n-o'lchovli vektorlarning arifmetik fazosi (yoki qisqacha n- o'lchovli arifmetik fazo ) deyiladi. Biz uni Rⁿ bilan belgilaymiz.

Vektorlarni qo'shish va  songa ko'paytirish amallariga arifmetik fazo-ning asosiy amallari deyiladi.

2. Rⁿ = Rⁿ ; + ,  _  fazoning asosiy amallari quyidagi xossalarga ega:

1.  Rⁿ ; + ,  _  - algebra-dditiv Abel gruppasi . 2. Songa ko'paytirish amali assosiativ: ya'ni

   R,  a Rⁿ    a= ( a).

3. Songa ko'paytirish qo'shish amaliga nisbatan distrubitiv:

   R,  a,b Rⁿ   (a+b)= a+  b .

4. Vektorga ko'paytirish sonlarni qo'shishga nisbatan distributiv, ya'ni

   R,  a Rⁿ   +  a=a + a .

5.  a Rⁿ  1 a= a.

xossalarning o'rinli ekanligiga bevosita tekshirib ko'rish yo'li bilan ishonch hosil qilish mumkin. Uni biz talabalarga xavola qilamiz.

1-2-§. n-o'lchovli arifmetik fazoning xossalari;

 Rⁿ ; + ,-  - gruppaga Rⁿ- arifmetik fazoning additiv gruppasi deyiladi.

3. Bizga Rⁿ=V fazoning a₁, a₂ , . . . , a_m vektorlari sistemasi berilgan bo'lsin. ₁a₁+ ₂ a₂ + . . . + _m a_m , ( ₁ , ₂ ,. . . , _m  R) ifodaga a₁, a₂ , . . . , a_m vektorlar sistemasining chiziqli kombinasiyasi deyiladi. Bu yerdagi ₁ , ₂ , . . . . . . , _m larga chiziqli kombinasiyaning koeffisiyentlari deyiladi. Agar koeffisiyentlardan birortasi noldan farqli bo'lsa, trivial bo'lmagan, aks holda, ya'ni barcha koeffisiyentlar nolga teng bo'lsa, trivial chiziqli kombinasiya deyiladi .

a₁, a₂ , . . . , a_m vektorlarning barcha mumkin bo'lgan chiziqli kombinasiyala-ridan to'zilgan L to'plamga shu vektorlaning chiziqli kobigi deyiladi.

Demak,

L=L(a₁, a₂ , . . . , a_m )={ ₁a₁+ ₂ a₂ + . . . + _m a_m  ₁ , ₂ ,. . . , _m  R }.

Osonlik bilan ko'rish mumkinki, chiziqli qobiq vektorlarni qo'shish, ayirish va  soniga ko'paytirish amallariga nisbatan yopiqdir.

2- ta'rif. Agar hech bo'lmaganda birortasi noldan farqli ₁, ₂, ... ,  _m sonlari mavjud bo'lib

₁a₁ + ₂ a₂+ . . . + _m a_m = 0 (1)

tenglik bajarilsa, u holda

a₁, a₂ , . . . , a_m (2)

vektorlar sistemasi chiziqli bog'langan deyiladi. Agarda (1) tenglik faqat va faqat ₁ = ₂ =. . . = _m = 0 bo'lgandagina bajarilsa, (2) vektorlar sistemasiga chiziqli bog'lanmagan sistema deyiladi.

Masalan: e₁=(1, 0 , 0 , . . . , 0 ), e₂ =(0, 1 , 0, . . . , 0) , . . . , e_n =(0, 0, 0 , . . . , 1) birlik vektorlar sistemasi chiziqli bog'lanmagandir. Haqiqatdan ham,

₁e₁+ ₂ e₂ + . . . + _n e_n = 0 dan ( ₁, ₂ , . . . , _m )= 0 yoki ₁ = ₂ =. . . = _m = 0 kelib chiqadi.

1-3-§. Chiziqli bog'langan va chiziqli bog'lanmagan vektorlar sistemalari;

1. Nol vektor yoki o'zaro proporsional vektorlar qatnashgan har qanday vektorlar sistemasi chiziqli bog'langandir. Haqiqatdan ham, agar 0, a₂ , ..., a_m vektorlar sistemasi berilgan bo'lsa, u holda ₁ 0, ₂ =. . . = _m = 0 deb olsak, ₁0+ ₂ a₂ + . . . + _m a_m = 0 tenglik o'rinli bo'ladi. a₁=a₂ bo'lsa ( 0), ham shunday isbotlanadi.

2. a₁, a₂ , . . . , a_m (a₁ 0) vektorlar sistemasi chiziqli bog'langan bo'lishi uchun undagi birorta vektorning qolgan vektorning chiziqli kombinasiyasi-dan iborat bo'lishi zarur va yetarlidir.

Isboti. Zarurligi. a₁, a₂ , . . . , a_m (a₁ 0) sistema chiziqli bog'langan bo'lsin. U holda

₁a₁ + ₂ a₂+ . . . + _m a_m = 0 (3)

tenglik bajariladi va bunda ₁, ₂ , . . . , _m larning hech bo'lmasa birortasi noldan farqli. Masalan, _k 0 va k shu shartni qanoatlantiruvchi eng katta indeks bo'lsin. Bu yerda k>1, aks holda, ₂ =. . . = _m = 0 deb olsak, ₁a₁ = 0 dan ₁= 0 kelib chiqadi. (3) ni a_k ga nisbatan yechsak: a_k =(-₁ /_k)a₁+(-₂ /_k)a₂+ . . . +(-_k-1 /_k)a_k-1+ (-_k+1 /_k)a_k+1+ . . . +(-_m /_k)a _m yoki '_s =(-_s /_k) deb bel-gilab olsak, a_k ='₁ a₁+'₂ a₂+ . . . +'_k-1 a_k-1 ga ega bo'lamiz.

Yetarli sharti. Faraz etaylik a_s=₁ a₁+₂ a₂+ . . . +_s-1 a_s-1 + _s+1 a_s+1+ . . .+

+_m a_m bo'lsin. U holda bu tenglikni ₁ a₁+₂ a₂+ . . . +_s-1 a_s-1 + _s a_s+

+_s+1 a_s+1+ . . . +_m a_m = 0 ko'rinishda yozish mumkin . Bu yerda _s = - 1  0 bo'lgani uchun a₁, a₂ , . . . , a_m vektorlar sistemasi chiziqli bog'langandir.

3. Agar berilgan sistemaning biror qismiy sistemasi chiziqli bog'langan bo'lsa, shu sistemaning o'zi ham chiziqli bog'langan bo'ladi.

Isboti. a₁, a₂ , . . . , a_k vektorlar sistemalari chiziqli bog'langan bo'lib a₁, a₂ , . . . , a_k , a_k+1, . . . , a_m sistemaning qismi bo'lsin. U holda hech bo'lmasa birortasi noldan farqli ₁, ₂ , . . . , _k sonlari mavjud bo'lib ₁ a₁+₂ a₂+ + . . . + _k a_k= 0 bo'ladi. Bundan ₁ a₁+₂ a₂+ . . . +_k a_k + 0 a_k+1+ . . . +0 a_m= 0

va ₁, ₂ , . . . , _k, 0, ... , 0 sonlarining hech bo'lmasa birortasi noldan farqli.

Demak, ta'rifga asosan a₁, a₂ , . . . , a_k , a_k+1, . . . , a_m vektorlar sistemasi chiziqli bog'langan.

Natija. Agar berilgan vektorlar sistemasi chiziqli bog'lanmagan bo'l-sa, uning ixtiyoriy qismiy sistemasi ham chiziqli bog'lanmagandir.

4. Agar a₁ , a₂ , . . . , a_m vektorlar sistemasi chiziqli bog'lanmagan bo'lib

a₁ , a₂ , . . . , a _m , v (4)

sistema chiziqli bog'langan bo'lsa , u holda v vektor

a₁ , a₂ , . . . , a _m (5)

sistemadagi vektorlar orqali yagona usulda chiziqli ifodalanadi.

Isboti. (4) sistema chiziqli bog'langan bo'lganligi sababli hech bo'lmasa birortasi noldan farqli bo'lgan ₁, ₂ , . . . ,  _m ,  sonlari mavjud bo'lib

₁ a₁+₂ a₂+ . . . +_m a_m + v = 0 (6)

tenglik bajariladi. Bu yerda yerda   0, aks holda (6)dan a₁₁ +₂ a₂+ . . . +

+_m a_m = 0 tenglik ₁, ₂ , . . . ,  _m larning birortasi noldan farqli bo'lganda bajarilishi kerak. Bu esa (5) ning chiziqli erkli ekanligiga ziddir.

(6) ni v ga nisbatan yechib

v = '₁a₁ + '₂a₂+ ... + '_m a_m (7)

ni hosil qilamiz.

Endi yagonaligini isbotlaylik. (7) bilan birga v= ₁a₁ + ₂a₂+ ... + _ma_m bo'lsa, u holda ( '₁ -₁) a₁ +( '₂ -₂) a₂+ ... + ( '_m -_m) a_m =0 bo'ladi. (5) cistema chiziqli erkli bo'lgani uchun '₁ -₁ =0, '₂ -₂=0, ... , '_m -_m =0 yoki '₁ = ₁, '₂ = ₂, ... , '_m = _m bo'ladi.

5°. Agar a L(b₁ , b₂ ,... , b_m ) va b₁ , b₂ ,... , b_m L(с₁ , с₂ ,... , с_s ) bo'lsa,

a L(c₁ , c₂ ,... , c_s ) bo'ladi.

Haqiqatan ham, a L(b₁ , b₂ ,... , b_m ) dan

a = ₁b₁ + ₂b₂+ ... + _m b_{m .} (8)

b₁ , b₂ ,... , b_m L(с₁ , с₂ ,... , с_s ) bo'lgani uchun esa

b₁= ₁₁с₁ + ₁₂ с₂+ ... + _1s c_s

b₂= ₂₁c₁ +₂₂ c₂+ ... + _2s c_s

.............................................. (9)

b_m=_m1c₁ + _m2c₂+ ... + _ms c_s .

(9) ni (8)ga olib borib qo'ysak

a=(₁ ₁₁ + ₂ ₂₁ + ... + _m _m1 )c₁+(₁ ₁₂ + ₂ ₂₂ + ... + _m _m2 )c₂+ . . . +

+(₁ _1s + ₂ _2s + ... + _m _ms )c_s yoki  _i =₁ _1i + ₂ _2i + ... + _m _{m i} ) deb belgilab olsak a= ₁с₁ +  ₂с₂+ ... +  _s с_s hosil bo'ladi,ya'ni a L(c₁ , c₂ ,... , c_s ).

Teorema. Agar a₁ , a₂ , . . . , a _m+1  L(b₁ , b₂ ,... , b_m ) bo'lsa, a₁ , a₂ , . . .,a _m+1

sistemasi chiziqli bog'langandir.

Isboti. m ga nisbatan matematik induksiya metodi bilan isbotlaymiz. a₁, a₂ , . . . , a _m+1 vektorlarning barchasini noldan farqli deb olamiz, aks holda teorema o'z o'zidan tushunarli. m=1 da a₁ , a₂ L(b₁) bo'lib, bundan a₁= =₁b₁ , a₂ = ₂b₂ ni, yoki ^-1₁ a₁ +(- ₂ )^-1 a₂ =0 , bu yerda ₁ , ₂  . Demak, a₁ , a₂

vektorlar chiziqli bog'langan va m=1 da teorema o'rinli.

Faraz etaylik, m= n-1 da teorema o'rinli bo'lsin. Biz uning m=n uchun o'rinli ekanligini isbotlaymiz. Bu holda a₁ ,a₂ , . . . , a_n+1  L(b₁ , b₂ ,... ,b_n) dan

a₁= ₁₁b₁ + ₁₂ b₂+ ... + _1n b_n

a₂= ₂₁b₁ + ₂₂ b₂+ ... + _2n b_n

.............................................. (10)

a_n= _n1b₁ + _n2b₂+ ... + _{n n} b_n

a_n+1= _n+1,1b₁ + _n+1,2b₂+ ... + _{n+1, n} b_n

Agar(10) da b_n ning oldidagi barcha koeffisiyentlar nolga teng bo'lsa, u holda a₁ ,a₂ , . . . , a_n L(b₁ , b₂ ,... ,b_n-1) va induktivlik farazimizga ko'ra a₁,a₂ , . . ., a_n

sistema va demak a₁ ,a₂ , . . . , a_n , a_n+1 sistema ham chiziqli bog'langan bo'ladi.

Agarda bu koeffisiyentlardan birortasi, masalan _{n+1, n} noldan farqli bo'lsa, u holda qolgan barcha tengliklardan b_n vektorni yuqotamiz:

a₁ -₁ a_n+1 ='₁₁b₁ + '₁₂ b₂+ ... + '_1,n-1 b_n-1

a₂ -₂ a_n+1 ='₂₁b₁ + '₂₂ b₂+ ... + '_2,n-1 b_n-1

.....................................................................

a_n -_n a_n+1 ='_n1b₁ + '_n2 b₂+ ... + '_n,n-1 b_n-1

hosil bo'ladi. Induktivlik farazimiega ko'ra a₁ -₁ a_n+1 , a₂ -₂ a_n+1, a_n -_n a_n+1

vektorlar sistemasi chiziqli bog'langan, hech bolmasa birortasi noldan farqli bo'lgan ₁, ₂ , . . . ,  _n conlari mavjud bo'lib ₁ (a₁ -₁ a_n+1 )+₂ (a₂ --₂ a_n+1) +_n ( a_n -_n a_n+1 )=0 tenglik bajariladi yoki bundan ₁ a₁+₂ a₂+ ...+ +_n a_n+_n+1 a_n+1 = 0 hosil bo'ladi. Bu yerda _n+1 = -(₁₁ + ₂₂ +. . . +_n_n ).

Shunday qilib, a₁ ,a₂ , . . . , a_n , a_n+1 vektorlar chiziqli bog'langan. Teorema isbot bo'ldi.

Natijalar. 1). Agar a₁ , a₂ , . . . , a_k L(b₁ , b₂ ,... , b_m ) bo'lib, k> m bo'lsa

a₁ , a₂ , . . . , a_k vektorlar sistemasi chiziqli bog'langan bo'ladi.

2). Agar a₁ , a₂ , . . . , a_k  L(b₁ , b₂ ,... , b_m ) bo'lib a₁ , a₂ , . . . , a_k vektor-lar sistemasi chiziqli bog'lanmagan bo'lsa, k m bo'ladi.

3). n o'lchovli arifmetik fazodagi har qanday n+1 ta va undan ortiq vektorlardan to'zilgan sistema chiziqli bog'langandir.

Bu 3- natija har qanday n o'lchovli vektor (₁ ,  ₂ , . . . ,  _n) ni birlik vektorlar orqali ifodalash mumkin ekanligidan, ya'ni (₁ ,  ₂ , . . . ,  _n)=

=₁ e₁ +  ₂ e₂ + . . .+  _n e_n  L(e₁ , e₂ ,... , e_n ) ekanligidan kelib chiqadi.