B erdaq nomidagi qoraqalpoq davlat universiteti

Tenglamalar sistemasini yechishning Gauss algoritmi

Quyidagi n ta noma’lumli m ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:

(1)

Endi (1) sistemani Gauss usuli bilan yechishga o’taylik. Bu usulning mohiyati shundan iboratki noma’lumlarni ketma-ket yo’qotib ,berilgan sistemaga teng kuchli bo’lgan uchburchak (yoki pog’onasimon) ko’rinishdagi sistemaga keltiriladi.

deb (1) ning birinchi tenglamasini ga bo’lib, so’ngra uni ga ko’paytirib, ikkinchi tenglamaga qo’shamiz.

Keyin ga ko’paytirib, uchinchi tenglamaga qo’shamiz va shu jarayonni davom ettiraversak natijada shunday sistema hosil bo’ladiki, u sistemaning faqat birinchi tenglamasida qatnashib qolganlarida qatnashmaydi.

Shu jarayonni (1) sistemaning qolgan tenglamalariga ketma-ket tatbiq etsak, quyidagi ikkita sistemaning bittasiga kelamiz.

(2) yoki (3)

(2) sistemaga uchburchak sistema , (3) ga esa pog’onali sistema deyiladi.

Agar (1) sistema (2) ko’rinishdagi sistemaga keltirilsa, u holda (1)sistema birgalikda bo’lgan sistema bo’lib yechimi yagona bo’ladi. Agar(1)sistema (3) ko’rinishdagi sistemaga keltirilsa u holda (1) sistema birgalikda bo’lib, yechimi cheksiz ko’p bo’ladi.

Misol. 1.

Yechish. bo’lgani uchun birinchi tenglamani 2ga bo’lamiz.

Bu sistemaning 1-tenglamasini (-3)ga ko’paytirib 2-tenglamaga, (-5)ga ko’paytirib 3-tenglamaga qo’shsak

Endi bo’lgani uchun 2-tenglamani 7/2 ga bo’lib, so’ngra uni 15/2 ga ko’paytirib 3-tenglamadan ayirsak:

J: .

2.

Yechish. 1-tenglamani (-2) ga ko’paytirib 2-tenglamaga, (-1) ga ko’paytirib 3-tenglamaga qo’shsak

; .

Shunday qilib ; .

Demak berilgan sistema cheksiz ko’p yechimga ega ekan, chunki ga ixtiyoriy son berib, , larning cheksiz ko’p qiymatlarini hosil qilamiz.

To’rtta o’zgaruvchili tenglamalar sistemasini Gauss algoritmi orqali yechish.

Misol. 1.

Yechish. ikkinchi, uchinchi va to’rtinchi tenglamalardan larni yo’qotamiz. Buning uchun 1-tenglamani (-1) ga ko’paytirib 2-tenglamaga, (-2) ga ko’paytirib 3-tenglamaga, (-2) ga ko’paytirib 4-tenglamaga qo’shamiz. Natijada quyidagi sistemaga ega bo’lamiz.

Yoki

Uchinchi tenglamadan ikkinchi tenglamani ayiramiz:

So’ngra to’rtinchi tenglamani (-6) ga ko’paytirib, uchinchi tenglamaga qo’shsak, uchburchakli sistema hosil bo’ladi:

Bundan,

J: , , , .

2.

Yechish (1)-tenglamadan ni topamiz

(5)

Topilgan ni (2)-tenglamadagi ni o’rniga qo’yamiz va ixchamlashtiramiz.

Yuqorida topilgan ni (3)-tenglamadagi ni o’rniga qo’yamiz va ixchamlashtiramiz.

Yuqorida topilgan ni (4)-tenglamadagi ni o’rniga qo’yamiz va ixchamlashtiramiz.

Yuqoridagilardan yangi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz

(6)-tenglamadan ni topamiz

(9)

(9)-tenglamani (7)-tenglamadagi ni o’rniga qo’yamiz va uni

Ixchamlashtiramiz

8

(8)

(9)-tenglamani (8)-tenglamadagi ni o’rniga qo’yamiz va uni ixchamlashtiramiz

5( )+

25

Yuqoridagilardan quyidagi yangi tenglamalar sistemasini hosi qilamiz

(10)-tenlamadan ni topamiz

(12)-tenglamani (11)-tenglamadagi ni o’rniga qo’yamiz va uni ixchamlashtiramiz

=12

25( )+13

(13)

(13)-tenglamaning qiymatini (12)-tenglamadagi ni o’rniga qo’yib ni topamiz.

(14)

(14) va (13) qiymatlarini (11)-tenglamadagi va ni o’rniga qo’yib ni topamiz

(15)

(13),(14) va (15) larni qiymatlarini (5)-tenglamadagi , va larni o’rniga qo’yib ni topamiz.

[

Demak, topilgan ildizlar [ , [ , [ , [ berilgan tenglamalar sistemasini to’liq qanoatlantiradi.