Ayırmalı operatorlar ushın menshikli mánisler máseleleri

Ayırmalı operatorlar ushın menshikli mánisler máseleleri

Ózgeriwshilerdi ajıratıw metodı (yamasa Fure metodı) ózgermes koeffitsientli ayırmalı teńlemelerdiń sheshimin tabıwda hám jaqınlasıwın tekseriwde keń qollanıladı. Bul metod ayırmalı másele sheshimin operatordıń menshikli funkciyaları boyınsha jayıwǵa tiykarlanǵan. Málim, hár bir ayırmalı shegaralıq máseleni operatorları qandayda bir shekli ólshewli sızıqtı keńislikte anıqkanǵan operator teńleme retinde qaraw múmkin.
Biz aldın bir ólshewli,keyin kóp ólshewli máselelerdi qaraymız.

Túrde tómendegi ayırmalı shegaralıq másele berilgen bolsın:
(1)
Berilgen shegaralıq shártlerinen paydalanıp, (1) sistemadan
hám belgisizlerin joǵaltıw múmkin.Nátiyjede (1) sitemaǵa teń kúshi bolǵan tómendegi sistemaǵa iye bolamız.
(2)
Bunda

Endi vektorlar kópliginde A operatordı tómendegi

Formulalar járdeminde anıqlaymız.
Eger dep belgilep alsaq,ol jaǵdayda (2) sistemanı bul
(3)
Operator teńleme kórinisinde jazıw múmkin boladı.Bul teńleme (2) teńlemeniń oń tárepi menen bir waqıtta shegaralıq shártlerdi de esapqa aladı.
Solay etip,ayırmalı másele (3) operator teńlemeni júzege keltiredi.Bul operator tor tarawınıń tek ishki noqatlarında anıqlanǵan.Kóbinese A operatorın oblasttıń barlıq noqatlarında anıqlanǵan hám shetki noqatlarında nolge aylanatuǵın funkciyalarınıń keńisliginde anıqlaǵan dep qaraw maqsetke muwapıq boladı.Ol jaǵdayda A operator pútkil de
(4)
Formulalar menen anıqlanadı. Bul operator ekinshi ayırmalı tuwındılı operatorı dep ataladı.
Biz 6 -bapta ulıwma korinistegi matritsalardıń menshikli sanları hám menshikli vektorları (funktsiyaları ) in tabıwdı korip shıqqan edik.
Joqarıdaǵı (4) teńlikler menen anıqlanǵan A operator bul arnawlı koriniske iye bolǵan

matritsadan ibarat. Belgili, A operator (matritsa) ushın menshikli sanlar máselesi tomendegilerden ibarat : sonday sanlardı (menshikli sanlar yamasa menshikli mánislerdi) tabıw kerek, bul
(5)
teńleme notrivial sheshimge iye bolsın. A matritsa tartibli arnawlı emes sımmetrik matritsa bolǵanlıǵı sebepli ta haqıyqıy oń menshikli mánislerge hám olarǵa saykes keletuǵın ta sızıqlı
erikli menshikli funktsiyalarǵa iye. Bul menshikli sanlar hám menshikli funksiyalardıń dál korinisin tabamız. Bunıń ushın (1) hám (3) den paydalanıp, (4) sistemani tomendegi koriniste jazıp alamız:
(6)
endi belgilew kiritip, (6) sistemanı
(7)
Korinisinde jazıp alamız. Bul ekinshi tartipli ayırmalı ayrım teńleme bolıp,

Onıń xarakteristik teńlemesi. Bul teńlemeniń korenlerin hám araqalı belgileymiz, onda (7) teńlemeniń ulıwma sheshimi
(8)
bolıp hám - erikli ózgermes sanlar. Endi shegaralıq shartlerden

Bir tekli sistemaǵa iye bolamız. Bul sistema nointerval sheshimge iye bolıwı ushın onıń determinantı nolge teń bolıwı kerek, yaǵnıy

Bıraq , sonıń ushın da , yaǵnıy birdiń tartipli koreni eken.
Demek,

Solay etip, bir tarepten

Ekinshi tarepten (8) teńlemeden

Kelip shıǵadı. Aqırǵı eki teńlikten

Payda boladı, bunnan bolsa

Solay etip, (6) maseleniń menshikli sanları tomendegilerge teń:
(9)
bunda .
Endi hám teńliklerdi esapqa alıp, menshikli funksiyanı (8) formuladan tabamız:

Bundan dep alıp, menshikli funksiya ushin tomendegige iye bolamız:
(10)
Menshikli sanlar ushın (9) formuladan

Payda boladı.aqırǵı teńsizlikti jaqsılap bolmaydı. Sebebi

bolıp, .
Endi tomendegi dıń mánisin tabamız. bunıń ushın dep belgilep, di tomendegishe jazamız:
.
Har dayım dep alıwımız múmkin. Onda boladı. aralıqta monoton kemeyiwshiligin esapqa alsaq,

yaǵnıy

kelip shıǵadı.
Joqarıda anıqlanǵan keńislikte skalyar kobeymesi hám norması tomendegishe kiritemiz:

Endi (10) funksiyalardıń da ortogonallıǵın kórsetip, normasın tabamız. Belgili,
(11)
Bunnan bolsa funksiyalardıń ortogonallıǵı hám
,
yaǵnıy

Kelip shiǵadı.
Solay etip,
(12)
Funkciyalar sisteması keńislikde ortonormall bazistı quraydı.
Demek, da anıqlanǵan hár qanday funkciyanı (12) bazis boyınsha sheshiw múmkin.
Biz
(13)
Shegaralıq másele sheshimin
(14)
kórinisinde izleymiz. Bunı orınlaw ushın (13) teńlemeniń oń tarepin Fureniń shekli qatarına jayamız:
(15)
bunda
(16)
Endi (14) háám (15) lerdi (13) ke qoyıp,

tı payda etemiz, (5) hám (9) lardan kórinedi, . Sonıń ushın da lardıń sızıqlı erikliliginen

Kelip shiǵadı. bunnan bolsa dıń Fure koeffitcientlerin payda etemiz:
(17)
Endi hám lar esaplanıp mashina yadinda saqlanǵan dep qıyal etip, (12) máseleni Fure usılı menen sheshkende orınlanıwı kerek bolǵan kobeytiriw hám boliw amelleriniń ulıwma sanin esaplaymız. Hár bir k ushın Fure koeficientlerin tabıwda dana kobeytiriw orınlaw kerek, barlıq dı tabıw bolsa dana kobeytiriw talap etedi. (17) formula boyınsha lardı tabıw ushın dana boliw amelin orınlaw kerek, (14) formula boyınsha barlıq lardı tabıwda dana kobeytiriw ameli sarplanadı. Solay etip, bul algoritm dana kobeytiriw hám dana boliw amelin talap etedi.
Qıyal eteyik, shegarası G ibarat bolǵan oblastta Puasson teńlemesi ushın bul
(18)
Dirixle máselesin sheshiw talap etilsin.
Biz dep alıp, tuwrı sızıqlardıń kesilisken tochkaları jardeminde G oblasttı tur oblastı hám G tı tur shegara menen almastıramız.
Endi (18) teńlemeden bes tochkalı ulgi jardeminda Laplastıń tomendegi ayırmalı operatorın payda etemiz:

bul jerde adettegidey,

Dirixle máselesin sheshiwde shegaralıq shartler nolden parqlı bolsa, operator teńlemeniń oń tarepin ózgertirip, shegaralıq shartler nolge teń bolǵan jaǵdayǵa keltiriw múmkin. endi turde anıqlanǵan hám ta nolge aylanatın funkciyalardıń sızıqlı keńisligin kiritemiz. Bul keńisliktiń ólshemi ǵa teń. Bul keńislik skalyar kobeyme hám normanı tomendegishe kiritemiz:
.
Analizden belgili bolǵan bolekli qosındı formulasın paydalanıp, kórsetiw múmkin, ıqtıyarıy ushın teńlik orınlanadı.
Demek, - óz-ózine tuyinles operator. Endi operator ushın menshikli sanlar máselesin qaraymız:

yaki

.
operator óz-ózine tuyinles hám óń bolǵanı ushın onıń dana haqıyqıy menshikli sanlar bar, menshikli funkciyalar bolsa da ortonormal bazistı payda etedi. Bul menshikli sanlar hám menshikli funkciyalardıń ashıq qollanılıwın tabamız. Ańsatlıq penen kóriwimiz múmkin, hám operatorlardıń menshikli sanları saykes turde tomendegilerden ibarat:
Bul sanlardıń múmkin bolǵan barlıq qosındıların alamiz:
(19)
Sonıń menen kóriw múmkin, hám operatorlardıń menshikli funkciyaları saykes turde tomendegilerden ibarat:

Bul funkciyalardıń múmkin bolǵan barlıq kobeymelerin duzemiz:
(20)
(10) teńlikten paydalanıp, kórsetiw múmkin, funkciyalar keńislikte kiritilgen skalyar kobeyme hám norma boyınsha óz-ara ortogonal bolıp, normaları birge teń. Solay etip, (20) funkciyalar kopligin keńislikte ortonormal bazisti qurawshı hám keńislikte anıqlanǵan hár qanday funkciyanı sol bazis boyınsha jazıw múmkin.