Aylanma sirt ta’rifini keltiring tеkislikda birоr chiziq va to’g’ri chiziq bеrilgan bo’lsin. Ta’rif

Teorema 3: Chekli o`lchovli vektor fazo chiziqli operatorning rangi bu operator matritsasining rangiga teng.
Isboti: vektor fazoning tanlangan bazisi bo`lsin. vektorlarning bu bazisga nisbatan koordinatalar ustini bo`lsin. Ular operator matritsasi ning ustunlaridan iborat bo`ladi, ya`ni
(1)
Demak,
vektorlar sistemasining rangi, bu vektorlarning ustunlari sistemasi rangiga teng, shular uchun va (1) ga ko`ra,
(2)
V vektor fazoning vektori berilgan bo`lsin, va
bo`lsin chiziqli operator bo`lgani uchun
o`rinli.
Shuning uchun,

ya`ni operator obrazi vektorlar orqali tashkil topadi. Bu yerdan,
(3)

4. 
   va (3) ga ko`ra, operatorning rangi matritsa rangiga teng.
   

Turli bazislarga nisbatan berilgan vektorlarning ustun koordinatalari orasidagi bo`g`lanish.
V-n o`lchovli nolmas vektor fazo bo`lsin. Bu fazoning ikkita turli bazislari berilgan bo`lsin.
(1)
(2)

3. 
   bazis vektorlarini (1) bazis vektorlari orqali ifodalaymiz.
   

(*)
………………………………….

Ta`rif 1:

matritsaga birinchi bazisdan ikkinchi bazisga o`tish matritsasi deyiladi. Bu yerda k-ustun vektorning bazisga nisbatan koordinatalar ustunidir.
Teorema 4: T-matritsa teskarilanuvchidir.
Isboti: chiziqli erkli vektorlar sistemasi bo`lgani uchun bu vektorlar koordinatalar ustunining ham chiziqli erkliligi kelib chiqadi, ya`ni T matritsaning ustun vektori chiziqli erklidir. Shuning uchun T matritsa teskarilanuvchi.
vektorning birinchi bazisga nisbatan koordinatalar ustunini ikkinchi bazisga nisbatan deb belgilaymiz. va orasida bog`lanish o`rnatamiz.