Aylanma sirt ta’rifini keltiring tеkislikda birоr chiziq va to’g’ri chiziq bеrilgan bo’lsin. Ta’rif

1-Teorema. Agar F moydon justidagi vektor fazolar bir hil chekli o’lchamga ega bo’lsa. Ular izomorf.
Teoremani isbotlash uchin izomorfizmning simmetriklik va tranzitivlik xossalariga asosan F moydon ustidagi har qanday n o’lchamli V chiziqli fazoning ga izomorf ekanligini ko’rsatish kifoya.
Isbot. Ushbu tizim V ning bazisi bo’lsin. Barcha uchun +…+
Tenglik bilan aniqlanagn akslantirishning izomorfizin ekanligini ko’rsatamiz.
Agar vektorning bazisidagi koordinatalari u holda kooordinatalarining yagonalik xossasiga asosan tenglik kelib chiqadi.
Bu f akslantirishning o’zora bir qiymatli ekanligini ko’rsatadi. Undan tashqari f – chiziqli: agar bo’lsa, u holda


Chiziqli akslantirish berilgan bo’lsin.
Ta’rif. Ushbu f(x) =0 tenglikni qanoatlantiruvchi barcha V vektorning to’plami chiziqli f akslantirishning negizi ( yadrosi) deb ataladi va k(f) ko’rinishdagi belgilanadi.
to’plam f akslantirishning aksi (obrozi) deb ataladi.
2-Teorema. Chiziqli akslatirishining negizi V fazoning qismfazosidir, obrozi esa W fazoning qismfazosidir. Agar V chekli o’lchamli bo’lsa, u holda

Isbot. Agar bo’lsa, u holda bundan yani Shunga o’hshash, agar F bo’lsa u holdsa shunday vektorlar mavjudki,
Endi dim V=n, negizining bazisi va V fazoning k(f) negizidagi bu bazisning toldirilishidan hosil bo’lgan bazisi bo’lsin. U holda vektorlar tizimi f(V) ning bazisi bo’ladi. Haqiqatdan agar bo’lsa, shunday mavjudki, Bunga asosan, agar bo’lsa chunkiy Undan tashqari vektorlar chiziqli erkli. Haqiqadan, agar bo’lsa, u holda yani
Demak, biror uchun

Bundan va tizimining chiziqli erkliligidan

Shunday qilib.


Natija. Chekli o’lchamli chiziqli fazoning o’ziga chiziqli akslantirishining o’zaro bir qiymatli bo’lishi uchin uning negizi no’l fazo bo’lishi zaruriy va kifoyaviy shartdir.
Isboti. Bu shartning zarurligi ayon. Agar bus hart bajarilgan va bo’lsa, ikkinchi teoremaga asosan dim Demak , Undan tashqari tenglikdan tehglik, bu esa x - y = 0 va x=y tengliklar kelib chiqadi.
Bu natijada fazoning chekli o’lchaliligi muhim. Masalan, har bir x =x(t) teng bilan aniqlangan chiziqli akslantirishning negizi nol fazo bo’lgani bilan u o’aro bir qiymatli esa, chunki uning maksi ozod hadi nolga teng bo’lgan ko’p hadlardagina iborat.