Aylanma sirt ta’rifini keltiring tеkislikda birоr chiziq va to’g’ri chiziq bеrilgan bo’lsin. Ta’rif

Ta`rif 1:

matritsaga birinchi bazisdan ikkinchi bazisga o`tish matritsasi deyiladi. Bu yerda k-ustun vektorning bazisga nisbatan koordinatalar ustunidir.
Teorema 4: T-matritsa teskarilanuvchidir.
Isboti: chiziqli erkli vektorlar sistemasi bo`lgani uchun bu vektorlar koordinatalar ustunining ham chiziqli erkliligi kelib chiqadi, ya`ni T matritsaning ustun vektori chiziqli erklidir. Shuning uchun T matritsa teskarilanuvchi.
vektorning birinchi bazisga nisbatan koordinatalar ustunini ikkinchi bazisga nisbatan deb belgilaymiz. va orasida bog`lanish o`rnatamiz.
Teorema 5: va koordinatalar ustuni x vektorning (1) va (2) bazisga nisbatan matritsalar bo`lsa, va T-birinchi bazisdan ikkinchi bazisga o`tish matritsasi bo`lsa, u holda
(1)
(2)
Isboti: va
(3)
(4)
bo`lsin, u holda
,
bo`ladi. lar o`rniga (*) tenglikdan foydalanib, (4) ni quyidagicha yozamiz.

Bundan


...............................................

bu yerdan

ya`ni
bu tenglikning ikkala tomonini ga ko`paytirib,
ga ega bo`lamiz.
-nol` bo`lmagan chekli o`lchovli vektor fazo bo`lsin. vektor fazoning
(1)
(2)
bazislari va birinchi bazisdan ikkinchi bazisga o`tish matritsasi T berilgan bo`lsin.
Teorema 6: vektor fazoning chiziqli operatori bo`lsin. va matritsalar bu operatorning mos ravishda (1) va (2) bazisga nisbatan matritsalari bo`lsin. T matritsa esa birinchi bazisdan ikkinchi bazisga o`tish matritsasi bo`lsin, u holda
bo`ladi.
Isboti: Yuqoridagi teoremaga ko`ra,
(3)
(4)
bu yerda va lar x vektorning mos ravishda birinchi va ikkinchi bazisdagi (matritsalari) koordinatalar ustuni ustuni (4) tenglikda x vektorni bilan almashtirib,

tenglikka asosan,

2. 
   ga ko`ra, . Bu tenglik uchun o`rinli. 1^*
   ga ko`ra,