Aylanish paraboloid va giperboloidlar

Parabola va uning kanonik tenglamasi
Tekislikda fokusi deb ataluvchi berilgan F nuqtadan va direktrisasi deb ataluvchi berilgan DD to`g`ri chiziqdan teng masofada yotuvchi nuqtalar tuplamiga parabola deyiladi.

Abssissa o`qi F fokus nuqtadan DD direktrisaga perpendikulyar ravishda o`tuvchi, ordinata o`qi esa fokus va direktrisalarning o`rtasidan o`tuvchi koordinatalar sistemasi tanlasak, parabola tenglamasi quyidagi kanonik ko`rinishni oladi

y² = 2 P x,

bu yerda, P – fokus va direktrisa orasidagi masofa.

Direktrisa tenglamasi , fokus esa F( ; 0 ) (6 – rasm).

Koordinatalar boshi parabola uchi, abssissa o`qi esa uning simmetriya o`qidir. Parabola ekstsentrisiteti ε = 1.

Agar ordinata o`qi parabola simmetriya o`qi bo`lsa, u holda uning tenglamasi x<sup>2</sup>  = 2 P y  (P>0) ko`rinishda bo`lib, direktrisa tenglamasi va fokusi F(0; ) nuqtadir.

Uchi (x₀; y₀) nuqtada, simmetriya o`qlari koordinata o`qlaridan biriga parallel parabola quyidagi tenglamalar bilan aniqlanadi:

(y–y₀)² = 2P(x–x₀) yoki (x–x₀)² = 2 P(y–y₀).

Masala. 0y ordinata o`qiga va x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = 4 aylanaga urinuvchi aylanalar markazlari to`plami tenglamasini tuzing.

M(x; y) – aylanalar markazlari to`plamining ixtiyoriy nuqtasi bo`lsin. Masala shartiga binoan KM = AM (7-rasm). Berilgan aylana radiusi 0K=2 ekanligini va KM = 0M – 0K tenglikni hisobga olsak, koordinatalarda quyidagi tenglamani olamiz:

x² + y² - 2 = |x| yoki y ² = 4 |x| + 4.
Ushbu tenglama uchlari (-1; 0) va (1; 0) nuqtalarda, fokuslari koordinatalar boshida, direktrisalari mos ravishda x = -2 va x = 2 to`g`ri chiziqlardan iborat, abssissa o`qi simmetriya o`qi bo`lgan parabolalarni ifodalaydi (7-rasm).