Автоколебательные процессы в системе двух электромагнитов, соединенных по дифференциальной схеме

C
1
, 
C
2
и образуют колебательные конту-
ры, в которых, при определенных условиях, возникает 
параметрический резонанс и возбуждаются механи- 
ческие колебания с частотой, отличной от частоты 
внешнего источника питания. Эффект взаимодействия 
колебательных контуров обусловлен перемещением 
якоря в магнитном поле электромагнитов.
Рассмотрим динамику работы двух электромагни-
тов ЭМ1 и ЭМ2, включенных в резонансные цепи.
Используя в целях сокращения записи двухиндекс-
ное обозначение, первый индекс которого соответству-
ет цепи индуктивностью 
L
1
, а второй — 
L
2
, запишем 
уравнения системы в следующем виде:
1,2
1,2
1,2 1,2
1,2
1
sin
;
m
d
i dt R i
U
t
dt
С
(1)
2
1
2
2
, ,
,
d x
dx
m
Kx F x i i
dt
dt
(2)
где 
C
1,2
— емкости колебательных контуров; 
i
1,2
— токи 
в обмотках электромагнитов; 
R
1,2
— активные сопро-
тивления обмоток электромагнитов; 
U
m
sinω
t
— напря-
жение внешнего источника; 
m
— приведенная к якорю 
масса подвижных частей вибровозбудителя; 
x
— пере-
мещение якоря; β — коэффициент трения подвиж-
ной части; 
K
(
x
) — упругость пружин, 
K
(
x
) = α
x
+ γ
x
3
;
F
(
x
1
, 
i
1
, 
i
2
) — возмущающая сила, являющаяся функци-
ей перемещения 
x
и токов 
i
1
, 
i
2
. 
Экспериментально подтверждающееся наличие ко-
лебаний в системе с частотой Ω, отличной от частоты 
внешнего воздействия, позволяет предположить, что 
решение уравнения (2) относительно 
x
следует искать 
в виде гармонической функции:
x
= 
A
cos(Ω
t
– θ), (3)
где 
A
— амплитуда искомых автоколебаний; Ω — час-
тота механических автоколебаний; θ — начальная 
фаза, определяющая положение якоря при 
x
(0). 
Индуктивности электромагнитов 
L
1
и 
L
2
нелинейно 
зависят от 
x
и могут быть описаны следующими ап-
проксимирующими функциями:
2
2
0
0
1,2
0
01
02
0
0
0
1
;
,
2
1
2
SW
SW
L
L
L
L
L
x
x
y
x
∓
∓
Дифференциальная схема соединения двух электромагнитов

---

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
73
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА Вестник МЭИ. № 2. 2021
где 
S
— условное сечение магнитопровода катушки;
W
— число витков катушки; 
L
01
, 
L
02
— индуктивности 
в среднем положении якоря; 
y
= 
x
/
x
0
— относительное 
перемещение.
При учете ненасыщенности магнитопроводов пото-
косцепление каждого из них выглядит как: 
ψ
1,2
=