Audit evidences and modelling audit risk using goal programming

 

 

---

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Audit evidences and modelling audit risk using goal programming

29 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figure 3  Relationship between audit risk and audit sample (see online version for colours) 

 

5  Simulation model 

Three models can be used for the analysis of audit risk and to determine audit evidence. 

The first model is the  non-pre-emptive model which it does not give any preference or 

priority to any of the goals. The second model is the sequential and the third one is called 

streamline pre-emptive method. However, we only show how audit DR can determine the 

audit evidence using the first model which is non-pre-emptive model. 

5.1 Non-pre-emptive 

model 

In  this  model,  we  assume  that  the  auditor  assigns  no priority  to  the  goals.  The  auditor 

could feasibly use this model by modifying the constant values of the variables for the 

audit resources. We set out below the stages that need to be followed to determine the 

optimal  number  of  pieces  of  audit  evidence  that  should  be  collected  and  supported 

through audit samples for each major account in order to create the final audit opinion. 

5.1.1 Stage one 

An audit partner should optimise three objectives: minimising the audit risk components 

to increase audit quality, maximising audit profit, and using the audit resources to achieve 

the highest level of audit efficiency. High audit quality will be achieved by minimising 

the audit risk. The main variable is the optimal number of audit samples, as the higher the 

audit risk, the greater the number of pieces of evidence that must be collected to support 

the audit opinion. If the auditor uses more audit samples than are needed, the audit costs 

will be higher, more time will be needed to collect and analyse those extra samples, and 

staff will spend more time compiling the samples; ultimately, audit quality with be higher 

as  audit  risk  will  be  reduced.  The  auditor  may  define  sample  sizes  for  each  class  of  

 

 

 

 

 

---

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30 

S. Askary et al. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

accounts,  of  which  there  are  five  main  ones:  assets,  liabilities,  revenue,  expenses  and 

other accounts such as contra accounts (accumulated depreciation, provision for doubtful 

debts, etc.), stockholder accounts (retained earnings, different shares, etc). There will also 

be other documents required to support the audit report. The other accounts are usually 

not  many  in  number,  but  they  may  be  important  in  nature.  We  defined  x

1

  to  x

5

  as 

variables to measure the optimal number of pieces of evidence for the audit: 

x

1

 = Samples size to be collected for asset accounts 

x

2

 = Samples size to be collected for liability accounts 

x

3

 = Samples size to be collected for revenue accounts 

x

4

 = Samples size to be collected for expense accounts 

x

5

 = Sample size to be collected for other accounts. 

Information about the sample size for the previous year’s audit could be used as a guide 

for the sample size in the current year, if the auditor is continuing to audit the same client. 

If the auditor is doing an audit for a new client, then the auditor will determine the sample 

size during the audit planning stage by looking at previous experience with clients of the 

same size and nature. In any case, the auditor will ensure the sample size is correct by 

using  statistical sampling techniques  to  double  check  the  accuracy  of  the  calculation.  

∑ Samples

t – 1

 is the total of sample collected last year for the client. 

1

1

.

.

.

.

.

t

t

Samples

Ass S

Liab S

Rev S

Exp S

Others S

−

−

=

+

+

+

+

∑

∑

∑

∑

∑

∑

 

where 

Ass.S = Total samples collected all assets accounts last year

∑

 

Liab.S = Total samples collected all liabilities accounts last year

∑

 

Rev.S = Total samples collected Revenue and Gains accounts last year

∑

 

Exp.S = Total samples collected all Expense and loss accounts last year

∑

 

Other.S = Total samples collected all other accounts last year

∑

 

The overall goal of the auditor is to minimise the DR, to increase audit quality. To use 

GP, the auditor must determine the DR for each class of accounts. The overall DR is the 

sum of the DR for each class of accounts as follows: 

.

.

.

1

Asset

Liab

Rev

Exp

others

t

DR DR

DR

DR

DR

DR

−

=

+

+

+

+

∑

 

5.1.1.1 Goal 

1 

The auditor should determine the DR value, which is CR × IR divided by AR. Suppose 

the auditor’s CR and IR values are 0.05 and 0.04, and the AR value is assumed to be as 

low as 0.01 or 1%. Then DR would be 0.20, or 20%. The following determines the value 

of DR for the asset accounts. If ∑Ass. is defined as the total samples taken from all the 

---

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Audit evidences and modelling audit risk using goal programming

31 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

asset  accounts  divided  by  total  number  of  samples  taken  to  complete  the  audit 

(∑Samples), then DR

Assest

 is: 

.

Assest

Ass

DR

DR

Samples

∑

=

×

∑

 

The auditor’s goal is to minimise the DR so that it is less than or equal to 0.2, or 20%, in 

total. Therefore, suppose the DR for assets, from the above formula, is 0.04 or 4%, and 

the DR for liabilities is 0.03, the DR for revenue is 0.06, the DR for expenses is 0.04, and 

the  DR  for  other  accounts  is  0.02.  Accordingly,  the  first  goal  constraint  will  be 

formulated as follows: 

1

2

3

4

5

Audit Risk goal:  0.04

0.03

0.06

0.04

0.02

0.20

x

x

x

x

x

+

+

+

+

≤

 

5.1.1.2 Goal 

2 

The second goal is that the operating audit cost budget is less than or equal to the total 

planned audit costs.  The  audit  partner  estimates  that  the  cost  of  each  sample  of  

x

1

  to  x

5

  is  $30,  $25,  $20,  $25,  and  $25,  respectively.  This  could  be  determined  by  the 

following formula: 

(

)

1

1

1

1 Δ%

t

t

t

t

t

All Audit Cost

Indirect Audit Cost

Estimated Cost of all Sample

Samples

−

−

−

∑

− ∑

=

∑

× +

 

This formula estimates the cost of each sample starting with the total audit cost from the 

previous  year  and  deducting  all  the  indirect  audit  costs  from  the  total  cost  to  give  the 

direct  audit  costs.  The  auditor  obtains  the  cost  for  each  sample  using  the  number  of 

samples  for  each  class  of  accounts  and  dividing  the  direct  audit  cost  by  the  number  of 

samples, then multiplying this figure by the percentage increase in the costs for this year. 

For the asset account, for instance, the estimated cost per sample can then be determined 

from this formula: 

1

t

t

Ass.

Cost of Samples for Assets Accounts

Samples

Estimated Cost of all Sample

−

∑

=

∑

×

 

Assume the audit partner estimates that the total cost should be around X = $150,000 this 

year, then the goal can be expressed in terms of the decision variables as: 

1

2

3

4

5

Total cost goal: 30

25

20

25

25

150,000

x

x

x

x

x

+

+

+

+

≤

 

5.1.1.3 Goal 

3 

Maintaining  the  minimum  number  of  staff  for  the  audit  engagement  while  keeping  the 

audit risk low is another optimisation goal for an audit firm. 

(

)

1

1 Δ%

t

t

t

Total Direct Personel Cost

Estimated No Staff

Staff

−

∑

=

× +

∑

 

---

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32 

S. Askary et al. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

.

t

t

Ass

No Staff Asset Accounts

Estimated No Staff

Samples

−

∑

=

×

∑

 

For example, suppose the audit manager plans to use a fraction of 0.08 staff members to 

work on the asset account, 0.3 on the liability account, 0.2 on the revenue account, 0.07 

on the expense account and 0.3 on the other accounts, but the total number of the staff 

being used should not be greater than 35. Then, the goal can be expressed in terms of the 

decision variables as: 

1

2

3

4

5

Staff limitation goal: 0.08

0.3

0.2

0.07

0.3

35.

x

x

x

x

x

+

+

+

+

≤

 

5.1.1.4 Goal 

4 

Finishing the task within m days (m ≤ 100) is another constraint and objective for every 

audit engagement. 

1

Δ%

t

t

t

Total Engagement Period

Estimated Days per Sample

Samples

−

∑

=

×

∑

 

Then, for instance, for the asset accounts the number of days to be spent should be: 

1

.

t

t

Ass

Estimated day for Assets Accounts

Samples

Estimated Days per Samples

−

∑

=

∑

×

 

Suppose,  for  example,  that  the  task  should  be  finished  within  100  days  and  that  the 

auditor  will  need  for  each  sample  from  the  asset  account,  liabilities  account,  revenues 

account, expenses account and other account 0.2, 0.5, 2.5, 1.5 and 0.5 days, respectively. 

Then, the goal can be expressed in terms of the decision variables as: 

1

2

3

4

5

Time limitation goal: 0.2

0.5

2.5

1.5

0.5

100

x

x

x

x

x

+

+

+

+

≤

 

5.1.2 Stage two 

At this stage, the auditor should determine the penalty weight for going over each goal. 

From  this,  we  develop  auxiliary  variables  y

1

  to  y

4

,  where  y

i

  represents  the  amount  by 

which the i

th

 goal is exceeded. Subsequently, the objective function Z is the minimisation 

of the sum product of the weights and auxiliary variables. 

Table 1 

Summarises the model, goals, and penalty weights 

Factors 

Audit samples for accounts 

Goal 

Penalty 

weight 

Assets Liabilities Revenues Expenses Others 

x

1

 

x

2

 

x

3

 

x

4

 

x

5

 

Detection risk 

0.04 

0.03 

0.06 

0.04 

0.02 

0.2 

40 

Cost 

30 

25 

20 

25 

25 

150 

7 

Audit team 

0.08 

0.3 

0.2 

0.07 

0.3 

35 

5 

Audit period 

0.2 

0.5 

2.5 

1.5 

0.5 

100 

10 

---

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Audit evidences and modelling audit risk using goal programming

33 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

From  Table  1,  we  obtain  the  following  integer  non-linear  programming  formulation  of 

this GP problem: 

Minimise 

1

2

3

4

40

7

5

10

Z

y

y

y

y

=

+

+

+

 

Subject to: 

1

2

3

4

5

1

1

2

3

4

5

2

1

2

3

4

5

3

1

2

3

4

5

4

0.04

0.03

0.06

0.04

0.02

0.2

30

25

20

25

25

150,000

0.08

0.3

0.2

0.07

0.3

35

0.2

0.5

2.5

1.5

0.5

100

x

x

x

x

x

y

x

x

x

x

x

y

x

x

x

x

x

y

x

x

x

x

x

y

+

+

+

+

−

=

+

+

+

+

−

=

+

+

+

+

−

=

+

+

+

+

−

=

 

Solution: 

1

2

3

4

5

1

2

3

4

498,

1,

1,

1,

1,

0,

17,

5,

4.

x

x

x

x

x

y

y

y

y

=

=

=

=

=

=

=

=

=

 

The y

i

 values indicate the following: 

•  The audit risk goal is met. 

•  The audit cost is exceeded by $17, which is negligible. 

•  The number of staff is exceeded by 5; i.e., 40 staff members would be needed. 

•  The number of days is exceeded by 4; i.e., the total days would be 104 days. 

The  reader  should  note  that  the  first  goal  is  met  as  it  has  the  highest  weight/penalty. 

However, if the audit manager wanted to give greater priority to another goal, then this 

could be simply done by changing the weights allocated.