Atap aytqanda, Oj = 0, j = 1, k, boMganda, j v+ df

Atap aytqanda, Oj = 0, j = 1, k, boMganda,
J v+ (df,,..., R{k) R (k)
(9 ) intcgrallar ma`nisin 1 ge teń desek boMadi (sebebi eger bul
baha qandayda bir C, 0 < C < o o ga teń boMsa, (p ni S ga boMib buǵan hár
mudam erisiw múmkin). Sonday eken, v+, v~ lar itimal oMchovlari boMar
eken:
v ± (A) = $-(*>
te. A
MaMumki,
v ± (dti,.. ., dtk)
integrallar Z,,... ?ZA, Zj =6 j + iu,- kompleks o4 zgaruvchilarning
f l l y s i Ol Uj\£ oo, y = 1, #J aradaǵı analitik funksiyaları boMadi. Bul
bolsa (8) integrallami aralıqqa analitik dawam ettiriw imkaniyatın beredi.
Atap aytqanda, j 6 j = 0,| Uj| < o o, j = 1, Arj aradaǵı haqıyqıy ul9., l. 9 uk lar
ushın (8) den
v+{dt) =| exp[i'Lujtj
jAk) [ M
f ) •v'
J exP ' 2 > A
R (k) { y=i
v-(dl). (10 )
(10 ) teńlik v hám v~ itimallıq oMchovlariga uyqas kelgen
xarakteristik funksiyalardıń teńligin kórsetedi. Ol halda xarakteristik funksiya jáne onıń bólistiriw funksiyası arasındaǵı óz-ara bir qiymatli uyqaslıqqa tiykarınan, v + hám v~ lar da derlik barlıq jerde ustmaust tushar eken. Bul bolsa, ocz gezeginde, {<90, 0 e ©} ga salıstırǵanda derlik
barlıq jerde
+ (/) = 0 ekenin, yaǵnıy (7 j,.. ., 7^) dıń
jetilisken statistika ekenin kórsetedi.
6 -§. Parametrlerdi bahalaw. Noqatlıq bahalar hám
olardıń ózgeshelikleri
Anıqlanıw tarawı {/>}-bólistiriwler shańaraǵınan ibarat boMgan
skalyaryoki vektor funksional g (P ) ni qaraymız. {. P} shańaraq parametrik
yamasa noparametrik bolıwı múmkin. Statistikada bul shańaraq belgisiz
boMgani ushın g (P{) funksional da nomaMum bolıp tabıladı. Mısalı, P -
bólistiriwdiń kvantili, momentleri g (P) ga mısal boMá aladı.
boMsin. X'n) tańlanma járdeminde bahaları toplami \\t boMgan qálegen g n = g „ ( x {n)) statistikalar izbe-izligi
g (P) funksional ushın baha (yamasa noqatlıq baha ) dep ataladı.
Sonday eken, g (P) ushın baha birden-bir emes eken.
Mısallar.
1. Empirik bólistiriw funksiyası F n (x) bólistiriw funksiya
F (x) = P (£ < x) ga batır. Bul jerde = [0, l].
+ 0 0
2. =| a (x) dF (x) boMsin. Ol halda
-0 0
Y SI 1 «
s„= \a{x) & nix) = - 'L a {x i\
-ob n r=l
Atap aytqanda, E, dıń k- tártipli momenti ushın v-*» batır (I baptaǵı
3-§ ga qarang).
3. (9, \+9 ) aradaǵı tegis bólistiriw ushın g (Pe ) = 9,
&'€©=¥ = (-<», ) boMsin, 9 ushın g-,.„= D (1) hám g 2 n = X (n)-\ lar
baha bóle aladı.
4. P9 -Jv (a, cr2) normal bólistiriwler shańaraǵı, 9 = (a, cr2) e 0 =
=R (l) x (0, co), g (P0) = 9, '¥ = @ boMsin. Bul halda g ln = (x, S 2),
g 2„= (x, S ) lar g (P0) ga baha boMá aladı. Bul jerde
Noqatlıq bahalawda biz g (P) fuksional ushın qandayda bir anıq g n
izbe-izlikti usınıs etemiz.
Noqatlıq bahalardıń ózgesheliklerin kórip ótemiz. Mp (yamasa
M0) arqalı P (yamasa Pe ) bólistiriwine salıstırǵanda esaplanǵan matematikalıq
kutilma operatorın belgileymiz.
/Si;
1-tariyp.g n baha g (P) ushın jıljımaǵan baha dep ataladı,
eger barlıq P e {P} ushın tómendegi teńlik atqarılsa :
MP{ g{ x ^ ) } = g (p ) (1)
I
Eger (1) atqarılmasa, g n baha jıljıǵan dep ataladı. Eger
n —» oo de barlıq P e {P} lar ushın
m D ^ ( ^ " )) } - gW =B„{P)-*0, (2)
l
boMsa, g n baha g (P) ushın asimptotik jıljımaǵan baha dep ataladı.
2-tariyp.g ;/baho g (P ) ushın tıyanaqlı (yamasa kúshti tıyanaqlı ) baha
dep ataladı, eger n->co de itimallıq (yamasa bir itimallıq ) menen
Sh ^ I e h t
Sn-+g\p ) ' Biz bunı g„->g (P) (yamasa g n-> g (P)) arqalı belgilaymiz. Bul jaqınlasıwlar itimallıq keńisliksinde
túsiniledi.
Sonday eken, F* (. r) empirik bólistiriw funksiya F (;t) ushın (vII
bap, 2-§ ga qarang) jıljımaǵan hám tegis kúshli tıyanaqlı baha bo'lar eken.
Bólistiriwler shańaraǵı {P} - noparametrik bolsa, g (P ) ushın
qaralayotgan bahalar da noparametrik dep ataladı. Atap aytqanda, 1-, 2-
hám 4-mısallar daǵı bahalar tiykarınan noparametrik bolıp tabıladı. Mısalı, 4- mısal -
A L
dagi g j n, g 2 n bahalar qálegen P bólistiriwde g (P) = (M pt;9 D/4)
ushın baha boladı hám barlıq P larda
Mpx = MP4 M PS 2 = Sh.
Sonday eken, g Ín hám g 2 n bahalar g (P) ushın uyqas túrde jıljıǵan hám
jıljımaǵan bahalar eken. ( g ln - asimptotik jıljımaǵan, sebebi
MPS2->Dp4). (1) teńlik jıljımaganlik teńlemesi dep ataladı.
^4
Berilgen g (P) ushın bul teńlemeni qánaatlantıratuǵın g n baha mavjud boMmasligi da múmkin.
Mısal.
5. 0 } - Puasson bólistiriwleri shańaraǵı bolsın :
/ I = ^ ( { = ' ) = 7 ye' ' - 0 = ( 0, so), xe. ^ = { 0, 1, 2,... }.
I A
M h j * fimksiya ushın jıljımaǵan g n bahoni qıdıramız. (1) ga
tiykarınan
M, £ (*<•>) = E = 1 v e s 0,
* 2 0 i=l * »! 0
i=ljt
yamasa
X/Z0
/=1, n
w T 1 Txi c»o
P M ] 1 = v 'v0€0?
teńlik atqarılıwı kerek. Biraq bul múmkin emes. Sonday eken, — ushın
jıljımaǵan baha joq eken.
Bahalanıp atırǵan g (P) fiinksional ushın bir neshe baha usınıs
etilgende, olardıń ishinen “eń jaqsısini” tańlaw máselesi tábiy
túrde kelip shıǵadı. Sonday eken, biz qandayda bir belgine tiykarlanǵan halda
bahalar arasında tártip o'matishimiz kerek. Bunday belgilerden biri
bahalama ortasha kvadratik chetlanish járdeminde salıstırıw bolıp tabıladı. Biz
tolıq {P}={/>0, 0 e 0 }, © e R{s), g (P e ) = 0 = (0, 5.., D.) - parametrik holni kórip shıǵamız. Daslep, 5 = 1, yaǵnıy skalyar parametrik
bahalanıp atırǵan bolsın. ushın qurılǵan bahalaming S sinifidan
birdey Bn (0) jılısıwǵa iye bolǵan bahalaming C B klass astın belgilaymiz. (Cq- jıljımaǵan bahalar klası : C0 c C s c C ).
3-tariyp. 9*e S baha S klasında effektiv dep ataladı, eger
•yvixtiyoriy basqa 9 ^ S baha ushın barlıq 6 n e 0 larda
MQ (0* -) 2 < MQ (#„ - v ) ocrinli boMsa.
Sonday eken, C0 dagi effektiv baha minimal dispersiyalik
jıljımaǵan baha (MDSB) eken.
4-tariyp. 6*e S baha S klassta asimptotik effektiv dep ataladı,
l*
eger qálegen basqa 9 ne'C baha ushın hár bir 9 s © de
lim sup 'Lv^v”~v ) - ^ 1,
g f mv {vp-yeOl ■
teńsizlik atqarılsa. 9 = vektor parametr ushın da yuqorida keltirilgen tariypler orınlı bolıp tabıladı. Bul halda qálegen v= (vj,.. ., vy) e R{s^
vektor ushın (v, 9 ) = v[9 l +... + vs9 s - skalyar parametrge baha
0 wg C, boMib, 9*e C dıń effektivligi barlıq 0 e ©larda
ortasha kvadratik bóliniwlar ushın
2 v2 Me [v, e*„-e) yaǵnıy
Y _ M e ( C ~ 9 ) { e ]n ~9 j ) vivj ^ V Y in~0 i ) ( 9 j n - e j ) v ivj
teńsizlikti orınlı boMishi menen anıqlanadı.
Mısal.
9 • 2 — 6. 4-mısaldan 9 = alaylıq. a = 0 boMsin. Esaplaw nátiyjesinde
„ 2 ' n-\ '
ekenin kóriw múmkin. Biraq,. < (0) = 'Sh K - v ) 1 ~De S 2 + [ M v t r -cr2 J =
Z I P Sonday eken, S — jıljıǵan hám S — jıljımaǵan baha boclsada, S baha
—2 S ga salıstırǵanda effektiv eken. Bul bahalar asimptotik ekvivalent bolıp tabıladı,
sebebi. ... l ol! 1 - * 1-" 77—> SO Ol •■*”-*
5-tariyp.g n baha g (P) ushın asimptotik normal baha deyi-
g-/- ch, >/«f^n-g (/>))
ladi, eger 'Jn[gn-g (P)) =>N (0;cr2) (yamasa -------- 5-------=>A^ (0;1))
a
shárt atqarılsa.
v m BOBGA DOIR MISOLLAR
1. Tómendegi bólistiriwler shańaraǵı eksponensial shańaraqqa tiyislime?
a). R[-6, e]. b). Bi (r, 6 ).
lir*
\[ 0, x2. Tómendegi bólistiriwler ushın jetkilikli statistikalami kórsetiń.
a). Ya{vx, v2). b). Ye (v).
II 0, l= (0;1).
p
3. Ye (v) bólistiriw ushın tolıq statistika bolıwın ko'rearing.
/=1
—| n
4. N (0;0 ) bólistiriw ushın x2=—Y x? statistika tolıq sta-
L fa\
tistika bola ma?
f Y> Q
5. Tıǵızlıq funksiyası f ( x, 0 ) = i 9 “ boMgan bólistiriw
Íyt o, xushın X{]) statistika tolıq statistika bola ma?
6. Xl9„. 9 XHtanlanma #[0;#] bólistiriwden alınǵan boMsin, nomaMum parametr ushın ——X0 l) bahoni jıljım aganlik hám tıykarn
lilikka tekseriń.
7. X^... 9 Xn tańlanma M\vXUv1 ) bólistiriwden alınǵan boMsin, x
hám S 2 larni uyqas túrde hám 9\ lar ushın jıljım aganlik hám tıykariilikka tekseriń.
f ye v~* x ^ v 8. Xl9... 9 Xn tańlanma qısıqlıǵı f ( x, 9 ) = \ ' boMgan
[ 0, x<*9
bólistiriwden alınǵan boMsin, xat Mum parametr ushın tómendegi
bahalardı jıljım aganlik hám tiykarlılıqqa tekseriń: a) X{1); b) x — 1.
9. Xl9... 9 Xn tańlanma MXx= a maMumva MX] chekli boMgan
bólistiriwden alınǵan boMsin. = x - a 2 statistika xat Mum
dispersiya ushın jıljım agan hám tıyanaqlı baha boMadimi?
10. Xx,... 9 Xn tańlanma MXx= a maMum hám MX2 chekli boM-
1 ya _^2
gan bólistiriwden alınǵan boMsin.g (dt (,, >) = ------ “ * ) stat*st&a
n r- 1 j
xat Mum dispersiya ushın jıljım agan hám tıyanaqlı baha boMadimi?
11. Tómendegi Pareto bólistiriwi nomaMum parametri v = (a% A)
ushın minimal jetkilikli statistikanı tabıń.
f ( x 96 ) =, x > a 9 a >0, A > 0.
IX BOB. SILJIM AGAN BAHOLASH
l-§. Eń yaxsh i jıljım agan bahalar
Bahalanıp atırǵan g ( 0 ), 0 6 © c /? funksiya ushın bir neshe
jıljım agan baha usınıs etilgende, olardıń ishinen “eń jaqsı
jıljım agan” bahoni tańlaw máselesi tábiy kelip shıǵadı. a « e %
g n, g n € C 0 - jıljım agan bahalar bolsın.
l- ta ' rif.g n baha g (0 ) ushın MDSB dep ataladı, eger
vg, ' e C0 baha ushın tómendegi teńsiziik atqarılsa :
D0 g <. D 0 g n. (1)
1-teorema. 0{p. v 2 pe C0 bahalar MDSB lar boMsin. Ol halda
0 ht hám 62 n bahalar ekvivalent bolıp tabıladı, y a 'ni
Rv {vi = ye1 p) = 1 \ / ve®.
Tastıyıqı. dn ( e ) = Dee, „, i =1, 2 hám v 3 a =| (01 p +02 n) b o lsin. Ol
halda = 0, De 03 n £*/„ (De K = ^ [ a d p + + 2 C ań, (0 l a, e 2 a ) ] z d „ ( v ),
sebebi Koshi-Bunyakovskiy teńsizligine kóre
cove (6 in, eln) <[D0 e ın ■ r vv2 n ]i = d„ (0).
Soǵan tiykarınan, De 03 n = d„ (0), C ove (0, „, 0 2„) = d„ () hám
m (0.--0 2 n ) = D A »+ De e 2 n - 2 Cove ( e ln, e 2„ ) = 0.
Bul bolsa óz gezeginde Pe ( Q =02„ ) = 1 teńlikke ekvivalent bolıp tabıladı.
M isollar.
I. X19..., X Ya tańlanma Bi (l;0) bólistiriwden alınǵan boMsin.
6 m% m<, n ushın MDSBni tabıń.