Asosiy tushunchalar. Laplas tenglamasining fundamental yechimi

Neymanning ichki masalasi. sohada garmonik, da o’zining birinchi tartibli hosilalari bilan birga uzluksiz bo’lgan funksiya topilsinki, uning normal bo’yicha olingan hosilasi avvaldan berilgan qiymatlarga teng bo’lsin, ya’ni
, , (2.3)
bu yerda ga o’ykazilgan normal.
Neymanning tashqi masalasi. sohada garmonik shunday funksiya topilsinki, uning normal bo’yicha olingan hosilasi da avvaldan berilgan qiymatlarniqabul qilsin, ya’ni
, , (2.4)
hamda funksiyaning o’zi cheksiz uzoqlashgan nuqtada bo’lgan holda nolga, da esa chekli limitga intilsin.
Dirixlining ichki va tashqi masalalari bittadan ortiq yechimga ega ega bo’lmaydi.
Haqiqatan ham, bu masala bir xil chegarviy shartlarni qanoatlantiruvchi ikkita va yechimga ega bo’lsin. U holda, funksiya (1) tenglamani va shartni qanoatlantiradi. Avval ichki maalani ko’ramiz. Ekstremum printsipining ikkinchi natijasiga ko’ra barcha sohada bo’ladi, demak .
Endi tashqi masalani tekshiramiz.
Avval bo’lsin. Shartga asosan funksiya sohada garmonik, shu bilan birga va nuqta koordinata boshidan yetarli uzoqlashganda , =const , tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Markazi koordinata boshida va rasiusi ga teng bo’lgan hamda sirtni to’la o’z ichiga oluvchi sferani olamiz. funksiyani sirt sfera bilan chegaralangan sohada qaraymiz. Agar radiusi yetarli kata bo’lsa, sferada tengsizlik bajariladi. Ixtiyoriy sonini olamiz va ni shunday kata qilib tanlaymizki, tengsizlik bajarilsin. sohada funksiya o’zining eng kata va eng kichik qiymatlariga yoki da, yoki da erishadi, demak, bu qiymatlar modul bo’yicha dan kata emas. sohaning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin. Yetarli kata da bu nuqta ga tushadi, shuning uchun ham . Ammo -ixtiyoriy musbat son bo’lganligi sabali , demak .
Agar bo’lsa, conform almashtirish (masalan kasr chiziqli) natijasida cheksiz sohani chekli sohaga o’tkazish mumkin. Bunda Laplas tenglamasi yana Laplas tenglamasiga, cheksiz soxhada garmonik bo’lgan funksiya esa chekli sohada garmonik bo’lgan fubksiyaga o’tadi va bu funksiya sohaning chegarasida nolga teng bo’ladi. Shunday qilib, cheksiz soha uchun dirixle masalasi yechimining yagona isbot qilingan chekli sohadagi Dirixle masalasiga keladi.
Laplas tenglamasi uchun Neymanning ichki masalasi o’zgarmas son aniqligida topiladi, ya’ni masalaning ikkita yechimi bir-biridan o’zgarmas son bilan farq qiladi.
Faraz qilaylik, bu masala bir xil (2.3) shartlarni qanoatlantiruvchi ikkita va yechimga ega bo’lsin. U holda, bu yechimlarning ayirmasi funksiya (1) tenglamani va shartni qanoatlantiradi. Oxirgi shartni qanoatlantiruvchi garmonik funksiya 2-banddagi 2) xossaga asosan barcha sohadao’zgarmas songa teng bo’ladi, ya’ni =const yoki =const. Neymanning ichki masalasi hamma vaqt ham yechimga ega bo’lavermaydi. 2-banddagi 3) xossaga asosan
(2.5)
bo’lishi kerak. Bu shart Neyman ichki masalaning yechimiga ega bo’lishi uchun zaruriy shartdir. Keyinchalik (2.5) ning yetarli shart ekanini ham ko’rsatamiz.
Agar fazoning o’lchovi bo’lsa, u holda Neymanning tashqi masalasi bittadan ortiq yechimga ega bo’lmaydi.
Bu fikrning to’griligiga ishonch xosil qilish uchun yuqorida kiritilgan chegaralari va dan iborat bo’lgan sohaga (1.8) formulani qo’llaymiz:
. (2.6)
sfera bo’yicha olingan integralni baholaymiz. yetarli katta bo’lganda 1-§ ning 6-banddagi lemmaga asosan
, , , -const
tengsizliklar o’rinli bo’ladi. U holda
.
bo’lgani uchun (2.6) formuladagi bo’yicha olingan integral nolga teng. Shunday qilib, da

Demak, , , =const. Ammo da uchun, ekanligi kelib chiqadi.
Bu holda ham huddi yuqoridagidek, =const tenglikka ega bo’lamiz. Chekli uzoqlashgan nuqtada da garmonik funksiya chegaralangan bo’lgani uchun, yuqoridagi fikrimizning to’g’riligiga darxhol ishinch hosil qilamiz