|
Matrisler va determinantlar
1. 1 Matritsa. Tushunchalar
To'rtburchak o'lchamli matritsa m x n agregat deb ataladi mn o'z ichiga olgan to'rtburchaklar jadvalda joylashgan raqamlar msatrlar va n ustunlar. Matritsani forma bilan yozamiz
yoki A = (a ij) (i =; j =) deb qisqartirilsin. Ushbu matritsani tashkil etuvchi raqamlar uning elementlari deb ataladi; birinchi indeks satr raqamini, ikkinchisi - ustun raqamini ko'rsatadi. Bir xil o'lchamdagi ikkita matritsa A = (a ij) va B = (b ij) teng ravishda teng deb ataladi, agar ular bir xil joylarda turgan elementlar juftlik bilan teng bo'lsa, ya'ni A = B ij = b ij bo'lsa.
Bir qator yoki bitta ustunli matritsa navbati bilan navbati vektor yoki ustunli vektor deb ataladi. Ustun vektor va satr vektorlari vektor deb ataladi.
Bir raqamdan tashkil topgan matritsa bu raqam bilan aniqlanadi. Matn kattaligi m x n, ularning barcha elementlari nol bo'lsa, nol matritsasi deb ataladi va 0 ga teng. Matritsaning bir xil indekslari bilan elementlari asosiy diagonali elementlari deb ataladi. Matris satrlari soni ustunlar soniga teng bo'lsa, ya'ni m = n, matritsa kvadrat buyrug'i deb ataladi n. Asosiy diagonal elementlari nol sintezi bo'lgan kvadrat matritsalarga diagonal matritsalar deyiladi va quyidagi kabi yoziladi:
Agar diagonali matrisaning barcha elementlari 1 bo'lsa, unda matris identifikator matritsasi deb nomlanadi va E harfi bilan belgilanadi:
Agar yuqoridagi barcha elementlar (yoki pastda) asosiy diagonali nol bo'lsa, kvadrat matris uchburchak deb ataladi. Transpozitsiya - satr va ustunlar o'z raqamlari bilan almashtirilgan matris konvertatsiya. Yuqoridagi T belgisining transpozitsiyasi ko'rsatiladi.
Matritsani (4.1) beraylik. Satrlarni ustunlar bilan qayta tuzish. Matritsani oling
A = t = ,
xususan, bir ustunli vektorni almashtirish orqali bir qator vektorini oladi va aksincha.
Matritsalar bo'yicha asosiy operatsiyalar.
Matritsa bo'yicha asosiy arifmetik operatsiyalar matritsani sonlarning ko'payishi, matritsalarni qo'shish va ko'paytirish hisoblanadi.
Matritsa bo'yicha asosiy operatsiyalar ta'rifiga o'tamiz.
Matritsalarni qo'shish : Ikki matritsaning summasi, masalan: A va B, bir xil sonli qatorlar va ustunlarga egadir, boshqacha aytganda, m va n bir xil buyruqlar M = (Cij) matrisi (i = 1, 2, ... m, j = 1, 2, ... n) buyruqlar m va n, ularning elementlari Cij teng.
Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n) (1.2)
Ikki matritsaning jamini belgilash uchun C = A + B usuli ishlatiladi Matritsalarni yig'ish jarayoni ularning qo'shilishi deb ataladi.
Shunday qilib, biz ta'rifi bo'yicha:
+ =
=
Matrislarning yig'indisidan yoki uning o'rniga (1.2) formulasidan aniqlanganidan, matritsalarni qo'shish amaliyoti haqiqiy sonlarni qo'shilish jarayoni bilan bir xil xususiyatlarga ega ekanligini darhol anglatadi:
1) kommutatsiya xususiyati: A + B = B + A
2) mulkni birlashtiruvchi: (A + B) + C = A + (B + C)
Bu xususiyatlar siz ikki yoki undan ortiq matritsani qo'shganda matrislar sonini tartibiga e'tibor berishga imkon bermaydi.
Raqamli matritsalarni ko'paytirish :
A = (Aij) (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n) matritsaning mahsuloti haqiqiy son bilan hosil bo'ladi: C = (Cij) (i = 1, 2, ..., m; = 1, 2, ..., n), elementlari tengdir
Cij = Aij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n). (1.3)
Matritsaning mahsulotini raqam bilan ko'rsatish uchun C = A yoki C = A foydalaning. Agar matritsaning mahsulotini raqam bilan yozish operatsiyalari matritsani ushbu songa ko'paytirish deb ataladi.
To'g'ridan-to'g'ri formuladan (1.3) aniqlanadiki, matritsani son bilan ko'paytirish quyidagi xususiyatlarga ega:
1) matrislarning yig'indisi bo'yicha taqsimlash xususiyati:
(A + B) = A + B
2) raqamli omilga nisbatan mulkni birlashtiruvchi:
3) tarqatish mulki raqamlar summasiga nisbatan:
(+) A = A + A
Eslatma: Ikki matritsaning farqlari A va B ning bir xil tartibdagi buyrug'iga ko'ra, matritsa B bilan bir xil tartibda C ni chaqirish tabiiy, chunki matritsani A ga bering. Ikki matritsaning farqini ifodalash uchun tabiiy nosozlik ishlatiladi: C = A - B.
Matritsalarni ko'paytirish :
Matris B = (Bij) (i = 1, 2) matritsasi A = (Aij) ning hosilasi (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n) , ..., n;
j = 1, 2, ..., p) matritsasi C = (Sij) (i = 1, 2, ..., p; , m va p ga teng, va formuladan belgilangan Cij elementlari
Cij = (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., p) (1.4)
B matrisasiga matritsaning mahsulotini belgilash uchun eslatmani ishlating
C = AB. Matritsaning B matritsasi mahsulotini yaratish jarayoni ushbu matritsalarning ko'payishi deb ataladi. Yuqorida tavsiflangan ta'rifdan kelib chiqqan holda, A matritsasi har qanday matris B bilan ko'paytirilmaydi: matritsaning A ustunlarining soni tengdir B matritsa qatorlari soni. AB va BA ning ikkala mahsuloti nafaqat aniqlanishi, balki bir xil tartibga ega bo'lishi uchun ham A va B ning ham bir xil tartibda kvadratchalar bo'lishi kerak.
Formulalar (1.4) matritsaning elementlarini kompilyatsiya qilish uchun qoida bo'lib,
matritsa A va matris B ning mahsulotidir. Bu qoida ham og'zaki shaklda ifodalanishi mumkin: I satrining kesishmasida turgan Cij elementi va C = AB matrining j ustasi ustuni matritsaning A va j- Matritsaning B ustuni. Ushbu qoida qo'llanilishi misolida biz ikkinchi darajali kvadrat matritsalarni ko'paytirish uchun formulani taqdim etamiz
Formulalar (1.4) matris A va matris B mahsulotining quyidagi xususiyatlarini bildiradi:
1) mulkni birlashtiruvchi: (AB) C = A (BC);
2) matris mulk summasi bilan taqsimlovchi:
(A + B) C = AC + BC yoki A (B + C) = AB + AC.
Matris mahsulotining permutatsiya xususiyatini faqat bir xil tartibda kvadrat matritsalar uchun berish masalasi mantiqiy. Boshlang'ich misollar shuni ko'rsatadiki, bir xil tartibda ikki kvadrat matris mahsuloti odatda permutatsiya xususiyatiga ega emas. Aslida, agar biz qo'ygan bo'lsak
A =, B =, AB = va B =
Mahsulot adolatli bir permütasyon xususiyati bo'lgan matrisler, odatda, komutasyon deb nomlanadi.
Kvadrat matritsalar orasidagi diagonal matritsalar sinfini tanlang, ularning har biri asosiy diagonali tashqari, nolga teng bo'lgan elementlarga ega. Oddiy diagonalga to'g'ri keladigan elementlar joylashgan barcha diagonal matritsalardan ikkita matrislar alohida ahamiyatga ega. Ushbu matritsalarning dastlabki qismi diagonalning barcha elementlari birligi bilan teng bo'lgan va n-darajali birlik matritsasi deb nomlangan va " Ikkinchi matris nolga teng bo'lgan barcha elementlar uchun olinadi va n-darajali nol matrisi deb ataladi va O belgisi bilan ifodalanadi. O'zini tasodifiy matritsa A, keyin esa
AE = EA = A, AO = OA = O.
Formuladan birinchi bo'lib haqiqiy raqamlarni ko'paytirilishida 1-son oynada o'ynagan rolga o'xshash hisob-kitob matritsasining maxsus rolini tavsiflaydi. Nol matrisi O ning maxsus roliga kelsak, u faqat formulalarning ikkinchi tomonidan emas, balki boshlang'ich tekshiriladigan tenglik bilan ham ifodalanadi: A + O = O + A = A. Nolinchi matris tushunchasi kvadrat matritsalar uchun ham kiritilishi mumkin emas.
Do'stlaringiz bilan baham: |
