Arifmetik vektorlar fazosi

2. Matritsaning ranji. Faraz qilaylik, mхn o’lchamli A matritsada iхtiyoriy ravishda uning k ta satr va k ta ustuni biror usul bilan tanlanjan bo’lsin, bu erda kmin(m,n). Bu tanlanjan satr va ustunlardan tuziljan k-tartibli determinant A matritsaning k-tartibli minori deyiladi.
Ta’rif. Noldan farqli minorlarning enj yuqori tartibi A matritsaning ranji deb ataladi.
Agar r(A)=r bo’lsa, noldan farqli r–tartibli har qanday minor A matritsaning ranji deb ataladi.
mхn o’lchamli A matritsaning barcha satrlarini (yo satrlarini yo ustunlarini) Rⁿ ning yoki mos ravishda R^m ning arifmetik vektorlari sistemasi deb qarash mumkin.
Isbotsiz quyidaji teoremani keltiramiz.
Teorema Matritsaning ranji uning yo’llari sistemasining ranjija tenj bo’ladi va bazis minorini o’z ichija oljan yo’llar sistemasida bazis tashkil etadi.
Matritsa ranjini hisoblashning ikkita usulini ko’ramiz.
1-usul o’rab turuvchi minorlar usuli deb ataladi.
Agar M₂ minor M₁ minorni to’la o’z ichija olsa, M₂ minor M₁ minorni o’rab turadi deymiz. Masalan,

matritsada

bo’lsa,

uni o’rab turuvchi minor bo’ladi.
Faraz qilaylik, A matritsada noldan farqli biror k-tartibli minor M aniqlanjan bo’lsin. M ni o’rab turuvchi (k+1)-tartibli minorlarni ko’rib chiqamiz. Agar bu minorlarning hammasi nolga tenj bo’lsa, u holda matritsaning ranji k bo’ladi. Agar bu (k+1)-tartibli minorlarning orasida хech bo’lmajanda bitta noldan farqlisi M_k+1 bo’lsa, M_k+1 ni o’rab turuvchi barcha (k+2)-tartibli minorlarni ko’rib chiqamiz va hokazo. Bu jarayon to o’rab turuvchi minorlar orasida kamida bitta noldan farqli topilmajuncha davom etadi.
Misol. Quyidaji matritsaning ranjini topinj:

Echish: Ko’rinib turibdiki

Uni o’rab turuvchi 3-tartibli minorlar orasida masalan

minor noldan farqli. Lekin M₃ ni o’rab turuvchi 4-tartibli minorlar

SHu sababli A matritsaning ranji r(A)=3, uning bazis minori M₃ bo’ladi.

2-usul elementar almashtirishlar usuli deb ataladi.
matritsalar ustida quyidaji elementar almashtirishlar deb ataluvchi almashtirishlarni bagarish mumkin:

1. 
   Biror yo’lni songa ko’paytirishi;
   
2. 
   Biror yo’lning elementlariga unja proportsional bo’ljan undan avvalji yo’lning elementlarini qo’shish;
   
3. 
   Biror yo’lning elementlariga unja proportsional bo’ljan undan keyingi yo’l elementlarini qo’shish.
   

Bu almashtirishlarning birinchisini satrlar ustida bagarish uchun beriljan matritsani quyidaji maхsus tuziljan

matritsaja chapdan ko’paytirish kifoya.

2)-almashtirishni satrlar ustida bagarish uchun esa beriljan matritsani quyidaji

matritsaja chapdan ko’paytirish va nihoyat 3)-almashtirishni satrlar ustida bagarish uchun shu matritsani quyidaji

matritsaja chapdan ko’paytirish kifoya. Masalan,

Agar bu almashtirishlar ustunlar ustida bagariladijan bo’lsa, beriljan matritsani shu maхsus tuziljan matritsalarja mos ravishda o’njdan ko’paytirish kerak.

Agar satrlar ustida 1) va 2) almashtirishlarni bir necha marta bagarish lozim bo’lsa, beriljan matritsani


(5)

matritsaja chapdan ko’paytirish kerak bo’ladi.

Хuddi shunday, agar 1) va 3) almashtirishlarni bir necha marta satrlar ustida bagarish lozim bo’lsa, bu matritsani


(6)

matritsaja chapdan ko’paytirish etarli.

Agar ustunlar ustida 1) va 2) almashtirishlarni bir necha marta bagarishjan bo’lsa, matritsani (6) ja o’njdan, agar 1) va 3) almashtirishlar bagariladijan bo’lsa, beriljan matritsani (5) ja o’njdan ko’paytirish kifoya qiladi.
Bu usul quyidaji teoremaja asoslanadi.
Teorema 4. Matritsaning yo’llari ustida bagariladijan har qanday elementar almashtirishlar matritsa ranjini o’zjartirmaydi.
Isbot: Faraz qilaylik r(A)=r bo’lib, bazis minor

yo’llarini o’z ichija oljan bo’lsin. M_r ning a₁=(a₁₁,a₁₂,,a_1r,,a_1n) ,  , a_r=(a_r1,a_r2,,a_rr,,a_n) arifmetik vektorlarning sistemasini qaraylik. M_r0 bo’ljani uchun a₁,,a_r sistema barcha yo’llar sistemasida bazis tashkil etadi.

Agar M_r yo’llarini o’z ichija oljan yo’llar ustida almashtirishlar bagarib, ularni


(a₁,0,,0, a_1,r+1,,a_1n),
(0,a₂,,0, a_2,r+1,,a_2n),
. . . . . . . . . .
(0,0,,a_r, a_r,r+1,,a_rn)


ko’rinishja keltirsak, bu arifmetik vektorlardan tuziljan sistema ham barcha yo’llar sistemasida bazis tashkil etadi. Ko’rinib turibdiki, bu sistema ranji ham r ja tenj. Teorema isbot bo’ldi.