Aniqmasliklarni ochish. Lopital qoidalari

1.3.7-teorema. intervalda va funksiyalar uchun ushbu shartlar bajarilgan bo’lsin:

1)

2) intervalda chekli hosilalar mavjud va

3) ckekli yoki cheksiz). U holda

tenglik o’rinli bo’ladi.

Isbot.k ning chekli hamda cheksiz bo’lgan hollarini alohida-alohida qarab o’tamiz.

1. 
   
   

bo’lib, -chekli bo’lsin. Limit ta’rifiga ko’ra, olinganda ham ga ko’ra shunday son topiladiki, tengsizliklar bajarilganda

tengsizlik ham bajariladi. Ushbu tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy va tayinlangan nuqtalarni olib, segmentda va funksiyalarga Koshi teoremasini qo’llaymiz. U holda

tenglik o’rinli bo’lib, bunda bo’ladi. Ravshanki, bu nuqta ga bog’liqdir.

Teoremaning bo’lishi shartiga asoslanib deb olsak bo’ladi.

Endi (1.3.13) tenglikning chap tomonida turgan

nisbatni quyidagicha yozib olamiz.

U holda (1.3.13) munosabat ushbu

ko’rinishga keladi.

(1.3.14) tenglikning o’ng tomonidagi nisbat da ga intiladi:

Endi

deb belgilaylik. Ravshanki, miqdor ga va u orqali va nuqtalarga bog’liq bo’lib, bo’lganda (1.3.12) munosabatga ko’ra

tengsizlikni qanoatlantiradi.

(1.3.14) tenglikdagi

nisbat, nuqta tayinlangan holda, da ga intiladi, ya’ni

Endi

deb belgilasak, u holda

bo’ladi. Demak, o’sha olinganda ham ga ko’ra shunday son topiladiki, bo’lganda

tengsizlik o’rinli bo’ladi. Endi (1.3.14) , (1.3.16) , (1.3.18) munosabatlardan topamiz:

Agar va sonlarning kichigini deb olsak, unda uchun (1.3.17) va (1.3.19) tengsizliklar bir vaqtda o’rinli bo’lib,

tengsizlik bajariladi.

Demak, olinganda ham shunday son topiladiki, bo’lganda

bo’ladi. Bu esa

bo’lishini bildiradi.

2. 
   
   

bo’lsin. Funksiya limiti ta’rifiga ko’ra olinganda ham shunday son topiladiki, bo’lganda

bo’ladi.

Yuqoridagi a) holidagidek tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy va tayin nuqtalarni olib, segmentda (1.3.13) tenglikka ega bo’lamiz. Bundan va demak, tengsizliklarga ko’ra (1.3.13) tengsizlikdan

tengsizlik kelib chiqadi.

Ikkinchi tomondan,

bo’lganidan jumladan, uchun shunday son topiladiki, bo’lganda

bo’ladi. Keyingi tengsizlikdan esa

bo’lishi kelib chiqadi.

(1.3.13) tenglikdan topamiz:

Endi deb olsak, u holda bo’lganda (1.3.21) va (1.3.22) tengsizliklar baravariga o’rinli bo’ladi. Natijada bo’lganda

bo’ladi. Bu esa

bo’lishini bildiradi. Teorema isbot bo’ldi.