Aniq integralning ta’riflari

Tasavvur qilinadigan (ifodalovchi) to’g’ri to’rtburchaklar.

Biz yuqorida ko’rdikki, aniq integral, Riman yig’indisining limiti shaklida, quyidagicha ifodalanadi:

(4.3)

Bunda , oraliqdagi ixtiyoriy tanlangan nuqta, esa, funksiyaning shu oraliqda tasavvur qilinadigan qiymatidir. Agar funksiya musbat bo’lsa, ko’paytma, 4.7 – chizmada ko’rsatilgan tasavvur qilinadigan to’g’ri to’rtburchakning yuzini beradi.

4.7-chizma. 4.8-chizma.

(4.3) formula bizga, berilgan egri chiziqdan pastda joylashgan yuzani, tasavvur qilinadigan to’g’ri to’rtburchaklar yuzalari yig’indisi sifatida, tasvirlash mumkinligini ko’rsatadi (4.8-chizma).

Endi soha, yuqoridan funksiyaning grafigi, pastdan esa, funksiyaning grafigi bilan chegaralangan bo’lsin (4.11 - chizma).

3 4.9-chizma. 4.10-chizma.

Unda sohaning yuzi, funksiyani, dan gacha, bo’yicha integrallaash yordamida topiladi (hisoblanadi), ya’ni

.

Bu holda Riman yig’indisi,

shaklida bo’ladi va tasavvur qilinadigan to’g’ri to’rtburchaklarning o’lchamlari quyidagicha: - «balandligi» va - «asosi» (4.11-chizma) bo’ladi.

Endi ga nisbatan integrallash yordamida yuzalarni hisoblash formulasini keltirib chiqaramiz. 4.11 – chizmada ko’rsatilgan sohaning chegaralari, ning funksiyalari bo’lmasdan, ular ning funksiyalaridan iborat bo’lgan holni qaraymiz.

4.11-chizma. 4.12-chizma.

Bu holda tasavvur qilinadigan to’g’ri to’rtburchaklarni gorizontal ko’ri-nishda olamiz va yuzani,

Riman yig’indisining limiti sifatida, tasvirlaymiz (4.12-chizma).

Demak, berilgan sohaning yuzi,

integral orqali ifodalanadi. Bu yerda integrallash,

«gorizontal bo’linish» ni ga nisbatan bajaradi.

4.1-misol. va chiziqlar bilan chegaralangan sohaning yuzini: ga nisbatan; ga nisbatan integrallash yordamida hisoblang.

Yechilishi. Avvalo, berilgan chiziqlarning nuqtalarda kesishishiga ishonch hosil qilish mumkin.

bo’yicha integrallash uchun, tasavvur qilinadigan to’g’ri to’rtburchaklarni vertikal joylashtiramiz va tenglamalarni ga nisbatan yechamiz: tenglamani ga nisbatan yechib, bo’lishini olamiz, bunda - parabolaning yuqori yarmidan, esa, parabolaning quyi yarmidan iborat. to’g’ri chiziq tenglamasini , shaklida yozamiz (4.13- chizma). Qaralayotgan sohaning yuqori chegarasi, egri chiziqdan iborat. Uning quyi chegarasi esa, ikkita, har xil tenglamalar orqali ifodalanadi: dan gacha o’zgarganda, egri chiziq, dan gacha o’zgarganda esa, to’g’ri chiziq. Shunday qilib, sohaning yuzi,

4.13-chizma. 4.14-chizma.

bo’yicha integrallash uchun, biz tasavvur qilinadigan to’g’ri to’rtburchaklarni gorizontal joylashtiramiz (4.14-chizma). Bunda, o’ngdan chegaralovchi to’g’ri chiziq va chapdan chegaralovchi egri chiziq esa, . Modomiki, , dan gacha o’zgarar ekan,