Aniq integralning tadbiqlari

M isol: va chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzini y
hisoblang.
Y echilishi: Berilganlarga hamda
c hizmalarga asosan barcha lar 0 x
uchun va barcha lar uchun dir. U holda, (3) formulaga asosa:


4) Agar figura kesmada ikkita uzluksiz va funksiyalar, hamda to`g`ri chiziqlar bilan chegaralangan bo`lsa, uning yuzi quyidagi formula yordamida hisoblanadi:
(4)
B unda va dir. y
Misol: va chiziqlar
bilan chegaralangan figuraning yuzini toping.
Yechilishi: Integrallash chegaralarini,
ya`ni va ni berilgan chiziq 0 a b x
tenglamalarini o`zaro tenglashtirib, topamiz:

Bundan, yani U holda, (4) formulaga asosan:

Demak, izlanayotgan figuraning yuzasi dan iborat ekan.
Quyida ba`zi egri chiziqli figuralarning yuzalarini topish formulalarni qaraymiz.
Ellipsning yuzi
Ma`lumki, ellipsning tenglamasi
(5)
dan iborat. Ellipsni 4 ta chorakka ajratib, uning bir bo`lagi, ya`ni ni topish yetarlidir. (5) ga asosan
. (6)
(1) formulaga asosan
Quyidagi almashtirishlar olamiz:
U holda, integralning yangi chegaralarini aniqlaymiz: va lardan va Bulardan ,


Demak, Bundan, (7)
Ellips yuzini topishning umumiy fomulasi quyidagi ko`rinishda bo`ladi: (8)