Aniq integralning geometriyaga tadbiqi

Aniq integralning geometriyaga tadbiqi

1. Figuralar yuzalarini Dekart koordinatalar sistemasida hisoblash.

a) Avvalgi o’tilgan mavzulardan ma’lumki, agar [a,b] kesmada funksiya bo’lsa u holda egri chiziq, OX o’qi va x=a hamda x=b to’gri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi
(4)
ga teng bo’ladi. Agar [a,b] kesmada bo’lsa, u holda aniq integral bo’ladi.
Absolyut qiymatiga ko’ra bu integralning qiymati ham tegishli egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng:
(4)

y

y=f(x)

0 a b x
1-rasm

Agar funksiya [a,b] kesmada ishorasini chekli son marta o’zgartirsa, u holda integralni butun [a,b] kesmada qismiy kesmada qismiy kesmachalar bo’yicha integrallar yig’indisiga ajratamiz.

bo’lgan kesmalarda integral musbat, bo’lgan kesmalarda integral manfiy bo’ladi. Butun kesma bo’yicha olingan integral OX o’qidan yuqorida va pastda yotuvchi yuzlarning tegishli algebraic yig’indisini beradi (1-rasm). Yuzlar yig’indisini odatdagi ma’noda hosil qilish uchun yuqorida ko’rsatilgan kesmalar bo’yicha olingan integrallar absolyut qiymatlari yig’indisini topish yoki
(4)
Integralni hisoblash kerak.
b) Agar egri chiziqlar hamda x=a va x=b to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzini hisoblash kerak bo’lsa, u holda shart bajarilgan figuraning yuzi qo’yidagiga teng:
(5)
1-misol. Y=cosx, y=0 chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzi hisoblansin, bunda (2-rasm)

y

S₁ S₃

0 S₂ x

-1
2-rasm

Yechish.
da hamda da bo’lgani uchun

Demak. S=4(kv.birlik)
2-misol. y=x²+1 va y=3-x chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzini hisoblang.
Yechish.Figurani yasash uchun avval ishbu sistemani yechib, chiziqlarnin kesishish nuqtalarini topamiz.
(3-rasm).
y
A

B
-2 0 1 2 x

3-rasm

Bu chiziqlar A(-2; 5) va B(1; 2) nuqtalarda keshishadi. U holda


g) Agar egri chiziqli trapetsiyaning yuzi tenglamalari parametric shaklda berilgan chiziq bilan chegaralangan bo’lsa, bunda bu tenglamalar [a, b] kesmadagi biror funksiyani aniqlaydi, bunda
U holda egri chiziqli trapetsiyaning yuzi formula bo’yicha hisoblanishi mumkin bo’ladi. Bu integralda o’zgaruvchini almashtiramiz:

Demak,
(6)
Bu formula chiziq parametric tenglamalar bilan berilganda egri chiziqli trapetsiyaning yuzini hisoblash formulasidir.

3-misol. x=accost, y=bsint ellips bilan chegaralangan sohaning yuzi hisoblansi.

Yechish.Ellipsning yuqori yarim yuzini hisoblab, uni 2 ga ko’paytiramiz.


Aniqintegralning fizik va mexanik tatbiqlari

Kattaligi o’zgaruvchan va funksiya bilan aniqlanadigan kuch moddiy nuqtani kesma bo’yicha harakatlantirganda bajarilgan ish

formulabilanhisoblanadi.

Biroro’zgarmastezlikbilanto’grichiziqbo’ylabtekisharakatqilayotganmoddiynuqtaning vaqt oralig’ida bosib o’tgan masofasi formula bilan hisoblanadi.

Tezligi harbir vaqtda o’zgaruvchan va funksiya bilan aniqlanadigan notekis harakatda moddiy nuqtaning vaqt oralig’ida bosib o’tgan masofasi

formulabilananiqlanadi.
Ma’lumki, inersiyamomentitushunchasimexanikaningmuhimtushunchalaridanbirihisoblanadi.Tekislikda massaga ega bo’lgan moddiy nuqta berilgan bo’lib, bu nuqtadan biror o’qqacha ( yoki nuqtagacha) bo’lgan masofa ga teng bo’lsin. U holda miqdor moddiynuqtaning o’qga ( nuqtaga) nisbatan inersiya momenti deb ataladi.
Masalan, tekislikdagi massaga ega bo’lgan moddiy nuqtaning koordinata o’qlariga hamda koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari mos ravishda

formulalarorqalihisoblanadi.
Masalan, tekislikdaharbirimosravishda massaga ega bo’lgan , , …, moddiy nuqtalar sistemasining koordinata o’qlarigahamdakoordinataboshiganisbataninersiyamomentlarimosravishda

formulalarorqaliifodalanadi.
Biror egri chiziq yoyi bo’yicha massa tarqatilgan bo’lsin. Bu massaliegrichiziqyoyiningkoordinatao’qlarihamdakoordinataboshiganisbataninersiyamomentlari




formulalarorqaliifodalanadi.
tekislikdamassalari bo’lgan material nuqtalar sistemasi berilgan bo’lsa, u holda, va ko’paytmalar massaning va o’qlariga nisbatan statik momentlari deyiladi.
Berilgansistemaningog’irlikmarkazikoordinatalarini va lar bilan belgilaymiz. U holda,mexanikakursidanma’lumbo’lgan




formulalarniyozishimizmumkin.
tenglama bilan berilgan egri chiziq yoyining og’irlik markazi koordinatalari quyidagi integrallar bilan aniqlanadi :




chiziqlar bilan chegaralangan tekis figura og’irlik markazining koordinatalari

formulalardantopiladi.