Aniq integralning geometrik tatbiqlari

Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar

1. bo’lganda, sinusoida va o’qi bilan chegaralangan yuza topilsin.

Yechish: da va da bo’lgani uchun

(4-chizma).

4-chizma

2. va egri chiziqlar bilan chegaralangan yuza topilsin.

Yechish: Dastlab va egri chiziqlarni kesishish nuqtalarini topamiz (5-chizma).

va dan kelib chiqadi. Undan esa larni topamiz. Demak,

3. ellips bilan chegaralangan sohaning yuzi topilsin.

Yechish: Ellipsning yuqori yarim qismini yuzini topamiz va uni ikkiga ko’paytiramiz. Bu yerda o’zgaruvchi dan gacha o’zgarganda o’zgaruvchi dan gacha o’zgaradi. Demak,

4. aylana uzunligi topilsin.

Yechish: Dastlab aylananing birinchi chorakda yotgan bo’lagining uzunligini topamiz. U holda yoy uzunligi bo’ladi va undan esa

ni aniqlaymiz. Shunday qilib,

Butun aylananing uzunligi esa ga teng bo’ladi.

5. co , astroidaning uzunligi topilsin.

Yechish: Egri chiziq har ikkala koordinata o’qlariga nisbatan simmetrik bo’lgani uchun dastlab uning to’rtdan bir qismining uzunligini topamiz. Buning uchun va larni topamiz. bo’lib, parametr dan gacha o’zgaradi. Demak,

Demak,

6. Asos yuzasi ga teng ko’pburchak va balandligi bo’lgan piramidaning hajmini toping.

Yechish: Geometriya kursidan ma’lumki, piramida asosiga parallel bo’lgan tekislik bilan kesilsa, kesimda asosiga o’xshash ko’pburchak hosil bo’ladi hamda kesim va asos yuzalarining nisbati ulardan piramida uchigacha bo’lgan masofalar kvadratlarinig nisbati kabi bo’ladi. Agar piramida asosidan ga teng masofada asosiga parallel tekislik o’tkazilganda hosil bo’lgan kesimning yuzasini deb olamiz. U holda piramida uchidan kesimgacha masofa bo’lganligi uchun quyidagiga ega bo’lamiz:

Shunday qilib integrallash o’zgaruvchisi bo’lib, u dan gacha o’zgaradi. Demak,

7. parabola va o’qi bilan chegaralangan shaklning o’qi atrofida aylanishidan hosil bo’lgan jismning hajmini toping.

Yechish: Dastlab integrallash chegaralarini topamiz. Buning uchun va tenglamalarni birgalikda yechamiz. Demak, bo’lib, undan va kelib chiqadi. Shunday qilib, egri chiziq o’qini ikkita va nuqtalarda kesib o'tadi va integrallash chegarasi 0 dan 4 gacha bo’ladi. Izlanayotgan hajm

8. va chiziqlar bilan chegaralangan shaklni OX o’qi atrofida aylanishidan hosil bo’lgan jismning hajmi topilsin.

Yechish: dan bo’lib uning grafigi paraboladan iborat. dan yoki bo’lib, u to’g’ri chiziqdan iborat. Ularni yasaymiz (6-chizma).

Berilgan chiziqlar bilan chegaralangan shaklning o’qi atrofida aylanishidan hosil bo’lgan jismning hajmi va egri chiziqli trapetsiyalarning o’qi atrofida aylanishidan hosil bo’lgan jismlar hajmlarining ayirmasidan iborat bo’ladi. Ularni har birini alohida- alohida topamiz :

Demak, izlanayotgan hajm

9. va parabolalar bilan chegaralangan shaklning o’qi atrofida aylanishidan hosil bo’lgan jismning hajmi topilsin.

Yechish: va parabolalarni yasaymiz. Dastlab ularning kesishish nuqtalarini topamiz (7-chizma).

Buning uchun va larni birgalikda yechamiz.

Bundan va ni topamiz.

Demak,






7-chizma