“Aniq integralni taqribiy hisoblash usullari” mavzusi bo’yicha uslubiy ko’rsatma ishi

O’zbekiston Respublikasi Oliy va O’rta Maxsus

Ta’lim Vazirligi

Namangan Muhandislik-pedagogika instituti

«Oliy matematika» kafedrasi

“Aniq integralni taqribiy hisoblash usullari”

mavzusi bo’yicha uslubiy ko’rsatma ishi

Namangan-2015

Click here to buy

A

B

B

Y

Y

PD

F Transfo

rm

er

2

.0

w

w

w .A

B B Y Y.

c o

m

Click here to buy

A

B

B

Y

Y

PD

F Transfo

rm

er

2

.0

w

w

w .A

B B Y Y.

c o

m

«Oliy matematika» kafedrasi uslubiy seminarida ko’rib chiqilib, chop etishga

tavsiya qilingan.

Majlis bayoni    № 1  28.08.2015 yil

Namangan  Muhandislik- pedagogika instituti ilmiy – metodik kengashi tomonidan

tasdiqlangan.

Majlis bayoni   № 1  30.08.2015 yil

Ro’yxat raqami  № 42

 Mualliflar :         f-m.f.n.    dots. Y. Oppoqov

                                             k. o’q.   А. Jo’rayev

                                                ass. A.To’xtaboyev

Taqrizchi :   f-m.f.n,  dots.  Х.Rasulov

Click here to buy

A

B

B

Y

Y

PD

F Transfo

rm

er

2

.0

w

w

w .A

B B Y Y.

c o

m

Click here to buy

A

B

B

Y

Y

PD

F Transfo

rm

er

2

.0

w

w

w .A

B B Y Y.

c o

m

Aniq integralni taqribiy hisoblash usullari

1.

To`g`ri to`rtburchaklar formulasi

Faraz qilaylik,

)

(x

f

y

=

 funksiya

[ ]

b

a, kesmada uzluksiz funksiya  bo`lsin.

Ushbu

ò

b

a

dx

)

x

(

f

   aniq integralni hisoblash talab qilinsin.

[ ]

b

,

a

 kesmani

b

x

,......,

x

,

x

a

n

=

=

1

0

nuqtalar bilan

n

 ta bo`lakka ajratamiz. Har bir bo`lakning

uzunligi

n

a

b

x

-

=

D

    ga teng bo`ladi.

)

(x

f

 funksiyaning

n

x

,......,

x

,

x

,

x

,

x

3

2

1

0

 nuqtalardagi qiymatini  mos ravishda

)

x

(

f

y

.

.

.

.

.

),

x

(

f

y

),

x

(

f

y

n

n

=

=

=

1

1

0

0

belgilaymiz va quyidagi yig`indini tuzamiz.

1

0

1

1

0

1

2

1

......

,

......

.

n

n

i

i

n

n

i

i

y x y x

y

x

y x

y x y x

y x

y x

-

-

=

=

D + D +

+

D

= D

D + D +

+ D

= D

å

å

   Bu yig`indilarning har biri

[ ]

b

,

a

 kesmada

)

(x

f

 funksiyaning integral yig`indisi

bo`lishi ravshan va shuning uchun taqriban integralni ifodalaydi:

0

1

2

1

1

2

( )

(

...

),

(1)

( )

(

...

).

(2)

b

n

a

b

n

a

b a

f x dx

y

y

y

y

n

b a

f x dx

y

y

y

n

-

-

»

+ + + +

-

»

+ + +

ò

ò

(1) formula (ichki) va (2) formula (tashqi) lar o`rinli bo`ladi.

Taqribiy hisoblashning absolyut xatoligi

n

a

b

M

R

4

)

(

2

1

1

-

=

                             (3)

dan katta emas. Bu yerda

n

a

b

x

h

x

f

M

b

a

-

=

D

=

¢

=

;

)

(

max

]

,

[

1

 bo’lak uzunligi.

2.Trapesiyalar formulasi

[ ]

b

,

a

kesmani n ta teng bo`lakka bo`lamiz.

n

a

b

x

-

=

D

)

(x

f

y

=

  chiziqning har bir yoyini

bu yoyning uchlarini tutushtiruvchi vatar bilan almashtiramiz.

Click here to buy

A

B

B

Y

Y

PD

F Transfo

rm

er

2

.0

w

w

w .A

B B Y Y.

c o

m

Click here to buy

A

B

B

Y

Y

PD

F Transfo

rm

er

2

.0

w

w

w .A

B B Y Y.

c o

m

Berilgan egri chiziqli trapetsiyaning yuzini n ta to`g`ri chiziqli trapetsiyalar yuzlarini

yig`indisi bilan almashtiramiz.

( )

0

1

1

1

2

( )

(

.....

)

4

2

2

2

b

n

n

a

y

y

y y

y

y

f x dx

x

x

x

-

+

+

»

D +

D +

+

D

ò

Bu trapetsiyalar formulasidir.

Trapetsiyalar formulasini absolyut xatoligi

2

3

2

2

12

)

(

n

a

b

M

R

-

=

 dan  katta emas. Bu  yerda

)

(

max

]

,

[

2

x

f

M

b

a

¢¢

=

 .

3. Simpson formulasi

[ ]

b

a,  kesmani

2

=

n

  ta  juft

miqdordagi teng qismlarga bo`lamiz.

Uchta nuqta olamiz va bu

(

)

0

0

у

;

x

(

)

1

1

у

;

x

,

(

)

2

2

у

;

х

 nuqtalar orqali

С

Вх

Ах

У

+

+

=

2

parabolani

o`tkazamiz. Bu parabola bilan

)

x

(

f

y

=

 funksiya grafigini

almashtiramiz. Huddi shunga

o`xshash

)

x

(

f

y

=

[ ]

b

a,  funksiya

grafigi

[

] [

]

6

4

4

2

х

;

х

,

х

;

x

 va boshqa

kesmalarga almashtiramiz.

Shunday qilib

)

x

(

f

y

=

 egri chiziqli trapetsiya yuzini bu kesmadagi  parabolalar bilan

chegaralangan egri chiziqli trapetsiyalar yuzlarini yig`indisi bilan almashtiramiz.

Bunday egri chiziqli trapetsiyalar parabolik trapetsiyalar deyiladi.

parabola tenglamasining

С

,

В

,

А

  koeffisentlari   parabolaning berilgan uchta nuqtadan o`tish

shartidan aniqlanadi.

С

,

В

,

А

 koeffisentlarni parabolaning

[

]

(

) (

)

2

2

0

0

у

;

h

,

у

;

,

у

;

h

-

 nuqtalardan o`tish

shartidan to’amiz.

m

а

b

n

а

b

x

h

2

-

=

-

=

D

=

ï

î

ï

í

ì

+

+

=

=

+

-

=

C

Вh

Аh

у

С

у

,

C

Вh

Аh

y

2

2

1

2

0

bu  tenglamalar sistemasini yechib

Click here to buy

A

B

B

Y

Y

PD

F Transfo

rm

er

2

.0

w

w

w .A

B B Y Y.

c o

m

Click here to buy

A

B

B

Y

Y

PD

F Transfo

rm

er

2

.0

w

w

w .A

B B Y Y.

c o

m

(

)

2

1

0

2

2

2

1

y

y

y

h

А

+

-

=

(

)

0

2

1

2

1

y

y

h

В

,

Y

C

-

=

=

 ni aniqlaymiz.

Endi parabolik trapetsiyaning S yuzasini aniq integral yordamida topamiz.

(

)

(

)

C

Ah

h

сх

х

В

x

A

dx

С

Вх

Ах

S

h

h

h

h

6

2

3

2

3

3

2

3

2

1

+

=

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

+

+

=

+

+

=

-

-

ò

А

 va

В

 ning topilgan qiymatlarini o`rniga qo`yib, quyidagilarni hosil qilamiz:

)

y

y

y

(

h

S

)

y

y

y

(

h

S

4

3

2

2

2

1

0

1

4

3

4

3

+

+

=

+

+

=

)

y

y

y

(

h

S

6

5

4

3

4

3

+

+

=

)

y

y

y

(

h

S

.........

..........

..........

..........

..........

m

m

m

m

2

1

2

2

2

2

4

3

+

+

=

-

-

(

)

0

2

1

3

2

1

2

4

2

2

( )

4(

...

) 2(

...

)

3

b

m

m

m

a

h

f x dx

y

y

y

y

y

y

y

y

-

-

=

+

+

+ + +

+

+ + +

ò

              (5)

bunda

m

a

b

x

h

2

-

=

D

=

Shunday qilib, aniq integralni taqribiy hisoblashning Simpson formulasi (parabolik

trapetsiyalarni formulasi) bunday ko`rinishni oladi.

(

)

0

2

1

3

2

1

2

4

2

( )

4(

...

) 2(

...

)

2

b

m

m

m

a

b a

f x dx

y

y

y

y

y

y

y

y

m

-

-

=

+

+

+ + +

+

+ + +

ò

            (6)

Sim’son formulasining absolyut xatosi

m

a

b

x

h

n

a

b

M

R

2

2880

)

(

4

5

3

3

-

=

D

=

-

=

  dan katta

emas. Bu  yerda

)

(

max

]

,

[

3

x

f

M

IV

b

a

=

.

1-misol  Ushbu

ò

+

=

1

0

1 x

dx

I

    integralni taqribiy qiymatini to`g`ri to`rtburchaklar formulasi

bo`yicha hisoblang.

Yechish.   Avval integralni aniq qiymatini Nuyuton-Leybnits formulasi bo’yicha

hisoblaymiz.

ò

»

=

+

=

+

1

0

.

69315

.

0

2

ln

0

1

1

ln

1

a

x

dx

[0;1] kesmani

1

.

0

10

0

1

=

-

=

Dx

 qadam bilan teng 10 bo’lakka ajratamiz va har  bir nuqtada

x

x

f

+

=

1

1

)

(

 funktsiyani qiymatini hisoblab quyidagi jadvalni tuzamiz.

i  0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

i

0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

i

1 0.9091 0.8333 0.7692 0.7143 0.6667 0.6250 0.5882 0.555 0.526 0.500

Click here to buy

A

B

B

Y

Y

PD

F Transfo

rm

er

2

.0

w

w

w .A

B B Y Y.

c o

m

Click here to buy

A

B

B

Y

Y

PD

F Transfo

rm

er

2

.0

w

w

w .A

B B Y Y.

c o

m

1. To`g`ri to`rtbrchak formulasi bo’yicha

1

.

0

10

0

1

,

10

=

-

=

D

=

x

h

 bo’yicha    (1) formulaga qo’yib hisoblaymiz

71877

.

0

)

5263

.

0

...

9091

.

0

1

(

1

.

0

=

+

+

+

»

I

      (2) formula bo’yicha

66877

.

0

)

5

.

0

...

8333

.

0

9091

.

0

(

1

.

0

=

+

+

+

»

I

;

Endi xatoligini hisoblaymiz:

x

x

f

+

=

1

1

)

(

   va

2

)

1

(

1

)

(

+

-

=

¢

x

x

f

1

)

1

(

1

max

)

(

max

2

1

£

+

-

=

¢

=

x

x

f

M

  demak

025

.

0

10

4

1

4

)

(

2

1

1

=

×

=

-

=

n

a

b

M

R

 dan ortmaydi.

 2. Trapetsiya formulasi bo’yicha

(4)  formulaga asosan

)

1,000 0,5000

0,1(

0,9091

0,5263

0,69377

2

I

+

»

+

+

+

=

LL

 hosil bo`ladi.

2

1

( )

(1

)

f x

x

¢

= -

+

 , bo`lganligi uchun

3

2

( )

(1

)

f x

x

¢¢

=

+

[ ]

1

,

0  kesmada

( )

2

£

¢¢ x

f

. Demak,

2

2

=

M

Natijani xatosi

2

2

2

(

)

2

1

0,02

12

12 100

600

M b a

n

-

=

=

<

×

Kattalikdan ortiq bo`lmaydi.

  Integralni absolyut xatosi

0,69315 0,69377

0,00062

-

=

3. Simpson formulasi bo’yicha

2

10

n

m

=

=

 bo`lsa,

1

3

30

b a

x

n

-

D

=

=

     (6) formulaga asosan

1

(1,0000 0,5000 4(0,9091 0,7692 0,6667 0,5882 0,5263)

30

2(0,833 0,7143 0,6250 0,5556)) 0,693146

I

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

Natijaning  absolyut xatosi

(

)

[ ]

(

)

5

5

4

0,1

24

24

,

max

24

1

1

IV

f

M

x

x

=

=

£

+

+

 .

5

3

3

4

(

)

24

0,000008

2880

2880 10000

b a

R

M

n

-

=

=

»

×

  dan ortmaydi.

Natijalarni taqqoslab,  Simpson formulasi ancha aniq ekaniga ishonch xosil qilamiz.

Click here to buy

A

B

B

Y

Y

PD

F Transfo

rm

er

2

.0

w

w

w .A

B B Y Y.

c o

m

Click here to buy

A

B

B

Y

Y

PD

F Transfo

rm

er

2

.0

w

w

w .A

B B Y Y.

c o

m

2-misol.

( )

2

2

0

sin x dx

ò

 integralni trapetsiyalar formulasi yordamida hisoblang.

Yechish.

2

.

0

10

0

2

,

10

=

-

=

-

=

D

=

n

a

b

x

n

quyidagi jadvalni to’ldiramiz.

i

0  1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

i

x 0 0.2

0.4

0.6

0.8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

i

y

0 0,004  0,1593 0,3523 0,5972 0,8415 0,9915 0,9249 0,5487 0,3427 0,1576

trapetsiya formulasiga asosan

2

2

0

0 0.1576

sin( )

0.2 (

0.04 0.1593 0.3523 0.5972 0.8415 0.9915 0.9249 0.5487 0.3427 ) 1.11722

2

x dx

+

»

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

ò

Endi absolyut xatoligini topamiz:

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

2

2

2

2

2

( )

sin

2 cos

( ) 2cos

4 sin

max 2 cos

4 sin

2

f x

x

x

x

f x

x

x

x

M

x

x

x

¢

¢

=

=

¢¢

=

-

=

-

£

013

.

0

300

4

100

*

12

8

*

2

12

)

(

2

3

2

2

=

=

=

-

=

n

a

b

M

R

dan katta emas.

3-misol.

12

3

2

13

x

dx

+

ò

 integralni parabolalar formulasi yordamida taqribiy hisoblang.

Yechish.

12 2

10,

1.

10

n

h

x

-

=

= D

=

=

( )

3

13

f x

x

=

+

quyidagi jadvalni to’ldiramiz.

i

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

i

x

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

i

y

4,582 6,324  8,775  11,747 15,133 18,868 22,913 27,240 31,828 36,661 41,725

(6) formulaga asosan

Click here to buy

A

B

B

Y

Y

PD

F Transfo

rm

er

2

.0

w

w

w .A

B B Y Y.

c o

m

Click here to buy

A

B

B

Y

Y

PD

F Transfo

rm

er

2

.0

w

w

w .A

B B Y Y.

c o

m

(

)

(

)

12

3

2

1

13

4,5882 41,725 4 6,324 11,747 18,868 27,240 36,661

3

2 8,775 15,133 22,913 31,828

197,808

x

dx

+

»

+

+

+

+

+

+

+

éë

+

+

+

+

=

ùû

ò

Mustaqil yechish uchun  misollar.

Quyidagi integrallarni integrallash  oralig`ini 10  bo`lakka bo`lib, to`g`ri to`rtburchak,

Trapetsiyalar va Simpson formulalari yordamida taqribiy hisoblang. Absolyut xatoni aniqlab

bo`lmagan holda hisoblashlarni 0,001 aniqlikda bajaring.

1.

13

3

3

3

x

dx

+

ò

                 2.

10

3

0

4

x

dx

+

ò

           3.

10

3

0

1

x

dx

+

ò

            4.

2

4

sin x

dx

x

p

p

ò

 5.

1

0

1

2

dx

x

+

ò

                    6.

8

3

2

12

x

dx

-

+

ò

          7.

1

2

0

x

e dx

-

ò

                   8.

2

0

1

3

dx

x

+

ò

9.

12

3

2

8

x

dx

+

ò

                10.

3

0

1

4

dx

x

+

ò

               11.

1

2

0

3 x dx

-

ò

           12.

12

2

2

7

x

dx

+

ò

13.

5

0

1

2

dx

x

-

ò

                 14.

11

3

1

6

x

dx

+

ò

           15.

2

cos x

dx

x

p

p

ò

              16.

2

1

1

7

dx

x

+

ò

17.

14

3

4

5

x

dx

+

ò

            18.

7

2

1

dx

lnx

ò

                  19.

8

3

1

1

dx

x

-

ò

                20.

11

3

1

9

x

dx

+

ò

21

.

3

0

cos x dx

p

ò

             22.

8

5

1

7

dx

x

+

ò

               23.

15

3

5

1

x

dx

-

ò

            24.

1

3

0

1 4x dx

+

ò

25.

3

0

1

7

dx

x

+

ò

Foydalanilgan adabiyotlar

1.

Ё. Х. Соатов «Олий математика» 1-2-қисм. Тошкент-1995 й.

2.

Д.Т.Ж.Жўраев «Олий математика асослари» 1-2-қисм Тошкент-1995 й.

3.

В. Е. Шнайдер  ва  бошқалар «Олий  математика  қисқа  курси» 2-қисм  Тошкент-

1992 й.

4.

В. П. Минорский «Олий математикадан масалалар тўплами» Тошкент-1977 й.

5.

П. Е. Данко и др. «Высшая математика в упражнениях и задачах» Част I. Москва-

1986 г.

Click here to buy

A

B

B

Y

Y

PD

F Transfo

rm

er

2

.0

w

w

w .A

B B Y Y.

c o

m

Click here to buy

A

B

B

Y

Y

PD

F Transfo

rm

er

2

.0

w

w

w .A

B B Y Y.

c o

m

---

Document Outline

• Namangan Muhandislik-pedagogika instituti
  • Namangan Muhandislik-pedagogika instituti
    • Namangan Muhandislik-pedagogika instituti
      • Namangan Muhandislik-pedagogika instituti
        • Namangan Muhandislik-pedagogika instituti
          • Namangan Muhandislik-pedagogika instituti
            • Namangan Muhandislik-pedagogika instituti
              • Namangan-2015
• Ro’yxat raqami  № 42
  • Mualliflar :       f-m.f.n.    dots. Y. Oppoqov
  • k. o’q.   А. Jo’rayev
    • k. o’q.   А. Jo’rayev
      • k. o’q.   А. Jo’rayev
        • k. o’q.   А. Jo’rayev
          • k. o’q.   А. Jo’rayev
            • k. o’q.   А. Jo’rayev
              • 3. Simpson formulasi