Aniq integrallardi juwíq esaplaw. EŃ Ápiwayí interpolyaciyalíq kvadraturalíq formula

ANIQ INTEGRALLARDI JUWÍQ ESAPLAW. EŃ ÁPIWAYÍ INTERPOLYACIYALÍQ KVADRATURALÍQ FORMULA

Bizden anıq integraldı esaplaw talap etilgen bolsın. Eger f(x) funktsiya _{kesindide úzliksiz bolsa bul máseleni ulıwma jaǵdayda Nyuton- Leybnits formulası}


(1)
Járdeminde sheshiledi. (F(x)=f(x)). biraq bul bizge belgili kópshilik funksiyalardıń baslanǵısh funksiyaları (anıq emes integralları ) elementar funksiyaları bolmawı múmkin. Onnan tısqarı basanǵısh funksiya elementar bolǵan bázi jaǵdayda (1.1) Formulanıń oń tárepi esaplaw ushın ámeliy tárepten jaraqsız (qolaysız) bolıwı múmkin.
Bunday jaǵdaylarda integraldi juwıq esaplaw formulalarınan paydalanıw maqsetke muwapıq. Bul formulalar, tiykarınan integraldıń geometrik mánisine súyengen halda shıǵarıladı.Bizge belgili, integral y=f(x) egri iymek sızıq, x=a va x=b tuwrı sızıqlar hámde abtsissalar oqı menen shegaralanǵan xOy koordinatalar tegislikindegi iymek sızıq trapetsiyanıń maydanına teń (f (x)>0 dep oylaymız).

ў

1.1-súwret
Endi S= integraldı juwıq esaplaw maqsetinde, kesindini n aǵzaga bólinedi hám bóliniw noqatları (túyinleriniń ) ósiw tártibinde :
a=x₀ <x₁<…<x_i-1<x_i<…<x_n=b kórinisinde belgilenedi. Ol jaǵdayda integral
(2) ekenligin kóriw qiyin emes.
Anıqlama. Eger (2) kvadraturalıq formula m-darejeli qálegen alegebralıq kóp aǵzalar ushın anıq bolıp, f ( x ) = ushın anıq bolmasa, ol jaǵdayda onıń algebralıq anıqlıq dárejesi m ǵa teń dep ataladı.
Interpolyatsion kvadraturalıq formula
Meyli, [ a,b] aralıqta ózi hám n + 1 tartipke shekemgi tuwındıları úziliksiz bolǵan f(x) funksiyadan p(x) > 0 awırliq funksiya menen alınǵan integraldı juwıq esaplaw lazım bolsın. Bunıń ushın [a,b] ǵa tiyisli hám hár túrli bolǵan , k = 0,l,...n túyin noqatlar alıp f(x) funksiyanıń n-tartipli Lagranj interpolyatsion kópaǵzaları dúzemiz yaǵniy:
(3)
bul jerde,
- Lagranj interpolyatsion kópaǵzasınıń qaldıq aǵzası. (3) teńliktiń eki tárepi p(x) awırlıq funksiyaǵa kóbeytip, [ a,b] aralıq boyınsha integrallasaq, tómendegini alamız

Eger interpolyatsiyalaw jeterlishe jaqsı ótkerilgen bolsa,
Úshınshi muǵdardaǵı onnan alınǵan integraldıń mánisi da kishkene dep taslap jibersek,
(4)
kvadraturalıq formulaǵa iye bolamız Bunda

Joqarıda kórsetilgen tártipte payda etilgen (4) formula, ádettegi, interpolyatsion kvadraturalıq formula dep ataladı hám onıń algebralıq anıqlıq dárejesi n ǵa teń. Onıń qaldıq aǵzası

kóriniske iye boladı. Bunda
Eń ápiwayı kvadraturalıq formulalar menen tanısamız. Bul jerde

1. 
   
   

orta tuwrı tórtmúyeshlikler formulası.
Onıń qaldıq aǵzası

Dı tabıw ushın f(x) dı da ekinshi tártipli úzliksiz aǵzaǵa iye dep alamız. Onda Teylor formulasına kóre:

bul jerde .
Bul teńliklerdıń hár eki tárepi a dan b ǵa shekem integrallasaq,
(5)
Kelip shıǵadı, sebebi
Integral astındaǵı funksiya óz baǵdarın saqlaydı, Sonıń ushın (5) integralǵa ulıwmalastırılǵan orta mánisi haqqındaǵı teoremanı qollaw múmkin:

(6)
bunda úzliksiz.
Endi (6)
(7)
kóriniske iye boladı.
Qaldıq aǵzasınıń bahalanıwı: .

2. 
   
   

trapertsiya formulası,

[ a,b] aralıqda bolǵanlıǵı ushın ortasha mánis haqqında ulıwmalasqan teoremanı qollansaq,
(8)
boladı, bunda .
Qaldıq aǵzasınıń bahalanıwı: .

3. 
   
   

Simpson kvadraturalıqformulası.
Onıń qaldıq aǵzası:

Qaldıq aǵzasınıń bahalanıwı: