Aniq integralda o’zgaruvchini almashtirish va bo’laklab integrallash

Kalit so

’zlar:

 aniq integral, o

’zgaruvchini almashtirish, bo’laklab integrallash, amaliy masalalar.  

Ключевые  слова:

 

определенный  интеграл,  замена  переменных,  интегрирование  по  частям, 

прикладных задачи. 

Kay words: 

exact integral, changing the modifier, integral ling after dividing, and practical problems.

  

 

         

Buyuk donishmand bobomiz Baxouddin Naqshband “Diling Ollohda qo’ling mеhnatda bo’lsin” dеya 

yaratuvchilikka da

’vat etganlarida, har qanday ishni e’tiqod bilan bajarishni nazarda tutganlar. 

          Mustaqillik yillarida bunyodkorlik an

’analarimiz har bir jabhada rivojlana boshladi. Ma’lumki, o’zining 

asl holatidan ko

’ra yuksakroq bo’lish, ta’bir joiz bo’lsa, “o’zidan qochish” mayli insonni harakatga undaydi. 

Ana shu harakatning izchil tus olishi insonni komillikka 

еtaklaydi. Olamning takomili harakat bilan bo’lgani 

kabi, insonning takomili ham harakat bilandir. Shu harakat misolida  

XX  asrda  va  hozirda  mat

еmatika 

fani  rivojiga  o

’zining  munosib  hissasini  qushgan  va  qushayotgan  olimlarimiz  T.N.Sarimsoqov, 

S.X.Sirojiddinov,  Sh.Ayubov,  Sh.Alimov,  A.Sa

’dullaеv,  A.A’zamov,  A.Abduqodirov  va  boshqalarni  sanab 

o

’tish mumkin. 

Endi  biror  F  kuch  ta

’siri  ostida  M  moddiy  nuqta  OS    to’g’ri  chiziq    bo’yicha  harakat  qilayotgan 

bo

’lib, bunda kuchning yo’nalishi harakat yo’nalishi bilan bir xil bo’lsin. M nuqta S=a holatdan S=b holatga 

ko

’chganda F kuchning bajargan ishini topish talab qilinsin. 

1)  Agar  F  kuch  o

’zgarmas  bo’lsa,  u  holda  A  ish  F  kuch  va  o’tilgan  yo’l  uzunligi  ko’paytmasi  bilan 

ifodalanadi: 

 

A=F(b-a) 

 

2)  F  kuch  moddiy  nuqtaning  olgan  o

’rniga  qarab  uzluksiz  o’zgaradi,  ya’ni  [a,  b]    kesmani  uzunliklari 

n

S

S

S







,...

,

2

1

  bo

’lgan  n  ta  ixtiyoriy  bo’lakka  bo’lamiz.  Har  bir  [S

i-1

,  S

i

]  qismiy  kesmada  ixtiyoriy 

i



 

nuqta    tanlab  olib,  F(S)  kuchning 

i

S



  yo

’lda  bajargan  ishini 

i

i

S

F



)

(



  ko

’paytma  bilan  almashtiramiz. 

Oxirgi  ifoda 

i

S



  yetarlicha  kichik  bo

’lganda  F  kuchning 

i

S



  yo

’lda  bajargan  ishning  taqribiy  qiymatini 

beradi. 

 











n

i

i

i

n

S

F

A

A

1

)

(



 

 

Yig

’indi  F  kuchning  [a,  b]  kesmada  bajargan  ishning  taqribiy  ifodasi  bo’ladi.  Bu  yig’indining 

0

max





i

S

 

dagi limiti F(S) kuchning  S=a nuqtadan  S=b nuqtagacha bo

’lgan yo’lda bajargan ishini 

ifodalaydi: 

 





b

a

dS

S

F

A

)

(

  

 

 (1). 

 

Misol.  Agar  prujina  1  N  kuch  ostida  1  sm  cho

’zilishi  ma’lum  bo’lsa,  uni  4  sm  cho’zish  uchun 

qancha  ish bajarish kerak? 

 

Yechish.  Guk  qonuniga  ko

’ra prujinani x m ga cho’zuvchi kuch F=kx; Agar x=0,01 m va F=1 N 

ekanligidan k=F/x=1/0,01=100 kelib chiqadi. 

Demak, F=100x  bajarilgan ish ekanligini hisobga olsak 

 









04

,

0

0

2

08

,

0

0

04

,

0

50

100

x

xdx

A

 

 

 

 

 

Javob : S= 

08

,

0

 (j.birlik). 

---

 

 

Bizga ma

’lumki, agar [a,b] kesmada funksiya 

0

)

(



x

f

 bo

’lsa u holda 

)

(

x

f

y



 egri chiziq, OX 

o

’qi va x=a hamda x=b to’gri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi 

 

 





b

a

dx

x

f

S

)

(

   

 

 

 

(2) 

ga teng bo

’ladi. Agar [a,b] kesmada 

0

)

(



x

f

 bo

’lsa, u holda aniq integral 





b

a

dx

x

f

0

)

(

 bo

’ladi. 

 

Agar 

)

(

x

f

  funksiya  [a,b]  kesmada  ishorasini  chekli  son  marta  o

’zgartirsa,  u  holda      integralni 

butun [a,b] kesmada qismiy kesmada qismiy  kesmachalar bo

’yicha integrallar yig’indisiga ajratamiz. 

0

)

(



x

f

  bo

’lgan  kesmalarda  integral  musbat, 

0

)

(



x

f

  bo

’lgan  kesmalarda  integral  manfiy 

bo

’ladi. Butun kesma bo’yicha olingan integral OX o’qidan yuqorida va pastda yotuvchi yuzlarning tegishli 

algebraik yig

’indisini beradi. Yuzalar yig’indisini odatdagi ma’noda hosil qilish uchun yuqorida ko’rsatilgan 

kesmalar bo

’yicha olingan integrallar absolyut qiymatlari yig’indisini topish yoki    

 





b

a

dx

x

f

S

)

(

  

 

 

 

(3) 

Integralni hisoblash kerak.