Aniq integral. Nyuton-Leybnits formulasi

MMI -15 Sultonbekov Bahodir

Аniq intеgrаl хоssаlаri

Aniq integral

Bundan avvalgi paragrafdagi masalani o’rganishda davom etamiz. [x0 , x1],[x1, x2 ],...,[xn1, xn ] kesmalardan har birida bittadan nuqta olib, ularni
1,2 ,...,n bilan belgilaymiz

x0  1  x1, x1  2  x2 , xn1  n  xn
Bu nuqtalarning har birida f (1), f (2 ),..., f (n ) funksiyaning qiymatlarini hisoblaymiz. Endi
n
sn  f (1)x1  f (2 )x2  ...  f (n )xn   f (i )xi
(1)

i1

yig’indini tuzamiz. Bu yig’indi f (x) funksiyaning [a,b] kesmadagi integral yig’indisi deyiladi. Ixtiyoriy i nuqta [xi1, xi ] kesmaga tegishli bo’lganda

mi  f (i )  Mi

va barcha xi  0 bo’lganligi uchun

mi xi  f (i )xi  Mixi

demak,

n n n

mi xi   f (i )xi  Mixi

i1 i1 i1

yoki

sn  sn  sn (2)

Oxirgi tengsizlikning ma’nosi shuki, f (x)  0 bo’lganda yuzasi sn ga teng bo’lgan yuzani chegaralovchi siniq chiziq “ichki chizilgan” va “tashqi chizilgan” siniq chiziqlar orasida joylashgan.

n
sn yig’indi [a,b] kesmani [xi1, xi ] kesmalrga bo’lish usuliga va shu kesmalar ichida i nuqtalarning tanlanishiga bog’liq.
Endi max[xi1, xi ] bilan [x0 , x1],[x1, x2 ],...,[xn1, xn ] kesmalar uzunliklaridan eng kattasini belgilaymiz. [a,b] kesma [xi1, xi ] kesmalarga shunday bo’lamizki, max[xi1, xi ]  0 bo’lsin. Albatta, bunda, kesmalar soni n cheksizlikka intiladi. Har bir bo’lish uchun tegishli i qiymatlarni tanlab
 f (i )xi
i1
n
integral yig’indini tuzish mumkin. Shunday qilib, bo’linishlar ketma-ketligi va unga mos integral yig’indilar ketma-ketligi haqida gapirish mumkin. Shunday bir ketma-ketlikni tanlasakki, max xi  0 bo’lsa, u holda yig’indi I limitga intilsin.
Agar [a,b] kesmani max xi  0 bo’ladigan qilib bo’lganda va i nuqtalar ixtiyoriy tanlashganda  f (i )xi yig’indi o’sha I limitga intilsa, u holda f (x)
i1
b
- integral osti funksiya - [a,b] kesmada integrallanuvchi, I limit esa [a,b] kesmada aniqlangan f (x) funksiyaning aniq integrali deyiladi. Uni  f (x)dx deb
a
belgilaymiz va
b
n
max xi 0 i1
lim  f (i )xi   f (x)dx
a
a soni integralning quyi limiti, b - yuqori limiti deyiladi. [a,b] kesma integrallash kesmasi, x esa integrallash o’zgaruvchisi deyiladi.
Agar y  f (x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo’lsa, u holda u kesmada integrallanuvchidir.
Albatta, agar x1  0 bo’ladigan qandaydir bo’linishlar ketma-ketligida f (x) funksiya sn va sn integral yig’indilarni qarasak, u holda bu yig’indilar I
limitga - f (x) funksiyadan olingan aniq integralga intiladi:
b
n
max xi 0 i1
lim mi xi   f (x)dx
a
b
n
max xi 0 i1
lim Mi xi   f (x)dx
a
Uzulishli funksiyalar orasida integrallanadigan funksiyalar ham, integrallanmaydigan funksiyalar ham bor.
Agar y  f (x) integral osti funksiyaning grafigini qursak, u holda f (x)  0 bo’lganda
b
 f (x)dx
a
integral son jihatdan ko’rsatilgan egri chiziq x  a , x  b to’g’ri chiziqlar va Ox o’q bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng.
Shuning uchun, agar y  f (x) egri chiziq x  a , x  b to’g’ri chiziqlar va Ox o’q bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzasini hisoblash kerak bo’lsa, u holda bu Q yuza
b
Q   f (x)dx
a
(3)
formula bilan hisoblanadi.
Izox 1. Shuni alohida ta’kidlash kerakki, aniq integral faqat f (x) funksiyaning ko’rinishiga va integrallash chegaralariga bog’liq, lekin integral o’zgaruvchisiga bog’liq emas. Shuning uchun aniq integralning qiymatini o’zgartirmagan holda x harfining o’rniga ixtiyoriy boshqa xarfni olishimiz mukin:
b b b
 f (x)dx   f (t)dt  ...   f (z)dz

• a a

Aniq integral tushunchasini kiritayotganda bu a  b deb faraz qildik. b  a bo’lgan holda ta’rifga ko’ra

• a

 f (x)dx   f (x)dx
a b