Aniq integral. Aniq integralning xossalari. Yuzani va jismni aylanishdan hosil bo’ladigan hajmni hisoblash formulasi

VI xossa: Har qanday [a,b] kesmada o‘zgarmas f(x)=1 funksiya integrallanuvchi va
(19)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot: Bu holda integral yig‘indida f(ξ_i)=1, Δx_i=x_i–x_i–1 (i=1,2,3,∙∙∙, n), x₀=a va x_n=b bo‘lgani uchun
Bu yerdan integral ta’rifi va limit xossasidan (19) tenglik kelib chiqadi:
.
Izoh: Integralning geometrik ma’nosiga ko‘ra (19) tenglikdagi aniq integral asosi [a,b] kesmadan iborat va balandligi f(x)=1 bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak yuzasini ifodalaydi va bu yuza S=1∙(b–a)= b–a ekanligidan ham (19) tenglikka ishonch hosil etish mumkin.
VII xossa: Agar [a,b] kesmada (a<b) integrallanuvchi y=f(x) funksiyaning shu kesmadagi eng kichik va eng katta qiymatlari mos ravishda m va M bo‘lsa, unda aniq integral uchun
(20)
qo‘sh tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot: Shartga asosan [a,b] kesmada m≤f(x)≤M bo‘lgani uchun IV xossa va (19) tenglikdan hamda I xossadan foydalanib, quyidagilarni olamiz:

.
Bu xossaning geometrik ma’nosi shundan iboratki (72-rasmga qarang), [a,b] kesmada y=f(x) funksiya grafigi orqali hosil qilingan aABb egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi asoslari b–a, balandliklari esa mos ravishda m va M bo‘lgan
aA₁B₁b va aA₂B₂b to‘g‘ri to‘rtburchaklar yuzalari orasida joylashgan bo‘ladi .

VIII xossa: Agar ‌|f(x)| funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, unda f(x) funksiya ham bu kesmada integrallanuvchi va quyidagi tengsizlik o‘rinli bo‘ladi:
(21)
Isbot: ‌ – |f(x)|≤ f(x)≤|f(x)| qo‘sh tengsizlikni hadlab integrallab, bu tasdiqqa quyidagicha erishamiz:
.