Аник интегралда узгарувчиларни ажратиш. Аник интеграл ёрдамида такрибий хисоблаш

3. Аник интеграл ёрдамида таркибий хисоблаш.
f(x) функция мураккаб булса (табиийки, унинг бошлангич фанкциясини топиш кийин булади), унда берилган функциянинг интегралини такрибий хисоблашга тугри келади.
I. Тугри туртбурчаклар формуласи.
f(x) функция [a, b] сигментда берилган ва узлуксиз булсин. Бу функциянинг аник интегрални f(x)dx кийматини такрибий ифодаловчи формулани келтирамиз. [a, b] сегменти х₀=a12< ... x_n-1n=b нукталар ёрдамида n та тенг булакка буламиз. Хар бир булакнинг узунлиги х_к=х_к+1-х_к= , х_к=а+к (к-0,1,2,...,n) булади.
Берилган f(x) функциянинг х_к нуктадаги киймати f(х_к) ни хисоблаб, f(x) нинг [х_к, х_к+1] сегмент буйича аник интегрални


f(x)dx f(x_к)х_к f(x_k)
такрибий ифодалаймиз. Бундай такрибий формулани хар бир [х_к, х_к+1] )к=0,1,2, ... , n-1) сегментда нисбатан ёзиб, сунг уларни хадлаб кушамиз.
f(x)dx f(x₂) , ... f(x)dx f(x₁) , f(x)dx f(x₂) , ... , f(x)dx f(x_n-1)
f(x)dx+ f(x)dx+ f(x)dx+ ... + f(x)dx f(x)dx [f(x₀)+ f(x₁)+ f(x₂)+...+ f(x_n-1)]
Демак
f(x)dx= [f(x₀)+ f(x₁)+ f(x₂)+...+ f(x_n-1)]= f(x_k) бу формула тугри туртбурчаклар формуласи дейилади.

II. Трапеция формуласи.

[a, b] сегментни n-та тенг булакка булиб, f(x) функциянинг [х_к,х_к+1] сегмент буйича олинган аник интегрални f(x)dx х_к= такрибий ифодалаймиз.
Бундай такрибий формулани хар бир [х_к,х_к+1] (k=0,1,2 ... , n-1) сегментда ёзиб, кейин уларни хадлаб кушиб топамиз:
f(x)dx+ f(x)dx+ f(x)dx+ f(x)dx [(f(x₀)+f(x₁)+f(x₁)]+f(x₂)+(f(x₂)+f(x₃))+ ... +(f(x_n-1)+f(x_n))]= [f(x₀)+2f(x₁)+2f(x₂)+ ... +2f(x_n-1)+f(x_n)].
Демак f(x)dx [f(x₀)+2f(x₁)+2f(x₂)+ ... +2f(x_n-1)+f(x_n)]. Бу формула трапециялар формуласи.
Параболалар симпсон формуласи f(x) функция [a,b] сегментда берилган ва узлуксиз булсин, [a, b] сегментни х₀=a12< ... 2n-22n-12n=b нукталар ёрдамида 2n та тенг булакка буламиз. f(x) функциянинг [x_2k, x_2k+2] сегмент буйича аник интегрални такрибий ифодалаймиз.
f(x)dx [f(x_2k)+4f(x_2к+1)+f(_2к+2)].
Бундай такрибий формулаларни хар бир [x_2k, x_2к+1], (к=0,1,2, ... , n-1) сегментга нисбатан ёзиб, кейин уларни хадлаб кушамиз.
f(x)dx+ f(x)dx+ f(x)dx+...+ f(x)dx [(f(x₀)4f(x₁)+f(x₂))+(f(x₂)+4f(x₃)+f(x₄))+(f(x₄)+4f(x₅)+f(x₆))+ ... +(f(x_2n-2)+4f(x_2n-1)+(x_2n))]= [(f(x₀)+f(x_2n))+4(f(x₁)+f(x₃)+f(x₅)+...+f(x_2n-1))+2(f(x₂)+f(x₄)+f(x₆)+...+f(x_2n-1))].
Демак.
f(x)dx [(f(x₀)+f(x_2n))+4(f(x₁)+f(x₃)+...+f(x_2n-1))+2(f(x₂)+2(f(x₂)+f(x₄)+...+f(x_2n-2)]
Бу формула параболалар (Симпсон) формуласи дейилади.

Aim.uz