Chiziqli tenglamalar sistemasi deb quyidagi ko‘rinishdagi sistemaga aytiladi:
a x a x
|
2
|
... a
|
|
x
|
n
|
b
|
|
|
|
11 1
|
12
|
|
1n
|
|
|
1
|
|
|
a21x1 a22 x2
|
... a2n xn
|
b2
|
,
|
|
|
............................................
|
|
|
|
|
a
|
x a
|
m 2
|
x
|
2
|
... a
|
mn
|
x
|
n
|
b
|
|
|
|
m1 1
|
|
|
|
|
m
|
|
|
bu erda , - sonlar, x j - noma’lumlar, n – noma’lumlar soni, m – tenglamalar
soni ( i 1, m; j 1, n ).
Chiziqli tenglamalar sistemaining yechimi deb shunday sonlarga
aytiladiki, bu sonlarni noma’lumlar o‘rniga quyilganda, sistemaning har bir tenglamasi o‘rinli tenglikka aylanadi.
Agar chiziqli tenglamalar sistemasi hech bo‘lmaganda bitta yechimga ega bo‘lsa birgalikda bo‘lgan, aks holda, ya’ni yechimga ega bo‘lmasa, birgalikda bo‘lmagan
tenglamalar sistemasi deyiladi.
Shuningdek, agar birgalikda bo‘lgan tenglamalar sistemai yagona yechimga ega bo‘lsa aniqlangan, bittadan ko‘p yechimga ega bo‘lsa, aniqlanmagan tenglamalar sistemasi deb yuritiladi.
Kramer qoidasi.
Ikkita chiziqli tenglamalardan iborat ushbu
a x a y b ,
11 12 1
(1)
a21 x a22 y b2
sistema ikki x va y noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasi deyiladi, bunda a11 , a12 , a21 , a22 sonlar tenglamalar sistemasining koeffitsientlari, b1 va b2 sonlar ozod hadlar deyiladi.
sistemaning koeffitsientlaridan ushbu
a21 a22
determinantni, so’ng bu determinantning birinchi ustunidagi elementlarni ozod hadlar bilan almashtirib
|
|
x
|
|
|
|
|
b1
|
a12
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2
|
a22
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
determinantni, ikkinchi ustundagi elementlarni ozod hadlar bilan almashtirib
|
|
|
|
y
|
|
|
a11
|
b1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21
|
b2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
determinantlar hosil qilamiz.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Demak, (1) sistema berilgan holda har doim , x , y
|
determinantlarga ega
|
|
bo’lamiz.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1-Teorema. Aytaylik, ushbu
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 x a12 y b1 ,
|
|
|
|
a21 x a22 y b2
|
(2)
|
|
tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin. Agar
0 bo’lsa, u holda (2) sistema yagona x , y yechimga ega bo’lib,
х
|
|
х
|
,
|
у
|
у
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bo’ladi;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) 0 bo’lib, x 0, y 0 bo’lsa,
|
u holda (2) sistema yechimga ega
|
|
bo’lmaydi;
x y 0 bo’lsa, u holda (2) sistema cheksiz ko’p yechimga ega
bo’ladi.
◄ (2) sistemaning birinchi tenglamasini a22 ga, ikkinchi tenglamasini – a12 ga ko’paytirib, so’ng ularni hadlab qo’shib topamiz:
a11 a22 x a12 a22 y a22 b1 ,
a21 a12 x a12 a22 y a12 b2
a11 a22 a12 a21 x a22 b1 a12 b2
Keyingi tenglikdan
хх,
ya’ni
хх
bo’lishi kelib chiqadi.
Shuningdek, (2) sistemaning birinchi tenglamasini – a21 ga, ikkinchi tenglamasini
a11 ga ko’paytirib, so’ng ularni hadlab qo’shib topamiz:
a11 a21 x a12 a21 y b1 a21 ,
a11 a21 x a11 a22 y b2 a11
a11 a22 a12 a21 у a11b2 a21b1.
Bu tenglikdan
уу,
ya’ni
уу
bo’lishi kelib chiqadi.
Shunday qilib berilgan tenglamalar sistemasi quyidagi
хх
уу
ko’rinishga kelib, sistema 0 bo’lganda yagona yechimga ega bo’lib,
bo’ladi.
Shunga o’xshash
0 bo’lganda sistema yechimga ega bo’lmasligi, х у 0 bo’lganda
sistema cheksiz ko’p echimga ega bo’lishi ko’rsatiladi. ► 1-misol. Ushbu
3 x 5 y 4
sistema yechilsin.
◄Bu sistema uchun , x , y larni topamiz:
|
2
|
3
|
109 1,
|
x
|
|
1 3
|
512 7,
|
|
|
|
y
|
|
2
|
1
|
835.
|
|
|
3
|
5
|
|
|
|
|
|
4
|
5
|
|
|
|
|
|
|
|
3
|
4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Demak,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х
|
|
х
|
|
|
|
7
|
7,у
|
|
5
|
5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bo’ladi. ►
2-misol. Ushbu
5 x 2 y 4,
0, 35 x 1,14 y 2
sistema yechilsin.
◄Bu sistema uchun , x , у larni topamiz:
|
|
5
|
2
|
|
50,14 0,352 0,7 0,7 0
|
|
|
|
|
|
0,35
|
0,14
|
|
|
х
|
|
4
|
2
|
|
|
40,14 22 0,56 4 0.
|
|
|
|
|
|
|
|
2
|
0,14
|
|
|
|
|
|
Demak, berilgan sistema yechimga ega emas. ► Uchta chiziqli tenglamalardan iborat ushbu
a11 x a12 y a13 z b1 ,
|
|
|
a21 x a22 y a23 z b2 ,
|
(3)
|
|
a x a y a z b ,
|
|
|
31
|
32
|
33
|
3
|
|
sistema uchta x, y va z noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasi deyiladi, bunda
a11 , a12 , a13 , a21 , a22 , a23 , a31 , a32 , а33 sonlar tenglamalar sistemasining koeffitsientlari, b1 ,b2 ва b3 sonlar ozod hadlar deyiladi.
( 3) sistemaning koeffitsientlaridan quyidagi
a11 a12 a13
a31 a32 a33
uchinchi tartibli determinantni hosil qilamiz. So’ng bu determinantning birinchi, ikkinchi va uchinchi ustunlarini mos ravishda ozod hadlar bilan almashtirib quyidagi determinantlarni tuzamiz:
|
b1
|
a12
|
a13
|
|
|
a11
|
b1
|
a13
|
|
|
a11
|
a12
|
b1
|
|
х
|
b2
|
a22
|
a23
|
,
|
y
|
a21
|
b2
|
a23
|
,
|
z
|
a21
|
a22
|
b2
|
.
|
|
b3
|
a32
|
a33
|
|
|
a31
|
b3
|
a33
|
|
|
a31
|
a32
|
b3
|
|
Demak, (3) sistema berilgan holda har doim , x , y , z determinantlarga ega
bo’lamiz.
Do'stlaringiz bilan baham: |