ANDIJON MASHINASOZLIK
INSTITUTI
“MASHINASOZLIK” FAKULTETI
“OLIY MATEMATIKA”
KAFEDRASI
“Oliy matematika”
fanidan
Kompleks sonlar va ular ustida amallar
mavzusida yozilgan
Bajardi:
136-guruh talabasi Sotvoldiyev Qanotbek
Andijon 2016
R E J A:
1.
Kompleks sonlar va ular ustida amallar.
2.
2.1. Kompleks sonning logarifmi.
2.2. Soha tushunchasi.
2.3. Jordan chizig‘i.
2.4. Stereografik proyeksiya.
3. Kompleks o‘zgaruvchining funksiyalari va ularning aniqlanish sohasi.
4. Funksiyaning limiti va uzluksizligi.
5. Asosiy elementar funksiyalar.
6. Kompleks o‘zgaruvchili funksiyasining hosilasi.
I. 1-ta‟rif. Kompleks son
deb
x+iy
ko‘rinishdagi ifodaga aytiladi, bunda
x
va
y
–
haqiqiy sonlar,
i
– mavhum birlik;
1
i
kompleks sonlarni
z
harfi bilan
belgilaymiz, ya’ni
,
y
i
x
z
x
– kompleks sonning haqiqiy qismi,
y
i
- kompleks
sonning mavhum qismi,
y
– mavhum qismining koeffitsiyenti deyiladi.
x
va
y
lar
quyidagicha belgilanadi:
z
m
J
y
,
z
e
R
x
2-ta‟rif.
Agar
2
1
2
1
y
y
,
x
x
bo‘lsa,
,
y
i
x
z
1
1
1
2
2
2
y
i
x
z
- ikki kompleks son
o‘zaro teng, ya’ni
2
1
z
z
deyiladi.
3-ta‟rif.
y
i
x
z
va
y
i
x
z
kompleks sonlar
qo„shma kompleks sonlar
deyiladi.
Kompleks sonlarning geometrik tasviri va trigonometric formasini ko‘ramiz.
To‘g‘ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasidagi har bir (
x, y
) nuqtaga bitta
y
i
x
kompleks sonni mos keltiraylik. Umuman shu usulda har bir kompleks
songa tekislikda bitta nuqta mos keladi va aksincha tekislikdagi har bir nuqtaga
bitta kompleks son mos keladi. Abssissa o‘qi haqiqiy sonlarning geometrik o‘rni,
ordinata o‘qi mavhum
iy
sonlarning geometric o‘rni bo‘ladi. Shuning uchun
absississalar o‘qi haqiqiy o‘q, ordinatalar o‘qi
mavhum o„q
deyiladi.
Tekislikning har bir (
x, y
) nuqtasiga koordinatalar boshidan chiqqan, oxiri shu
nuqtada bo‘lgan vektorni mos keltirish mumkin. Shuningdek, har bir
(x
+
iy)
kompleks songa koordinatalar
x
va
y
bo‘lgan
OM
vektor mos keltiriladi.
1-rasmgaga asosan:
sin
r
y
,
cos
r
x
,
x
y
arctg
,
x
y
tg
,
y
x
r
2
2
.
Unda
sin
i
cos
r
sin
r
i
cos
r
y
i
x
z
, yoki
sin
i
cos
r
z
(1)
bunda
r
– kompleks sonning moduli, ya’ni
z
r
,
-
uning argumenti
z
g
r
A
.
(Agar
z
g
r
A
bo‘lsa, unda
Argz=argz
bo‘ladi
argz
– bosh argument
deyiladi). (1) formula – kompleks sonning
trigonometrik formasi
deyiladi. Agar
Eyler formulasini
sin
i
cos
e
i
e’tiborga olsak, unda
i
e
r
z
(2) kompleks sonning
ko„rsatkichli formasi
deyiladi.
y
M(x, y)
r (x
+
iy)
y
x
0
x
M
N(x, -y)
(x
+
iy)
1-rasm
1-misol.
i
l
z
trigonometrik formaga keltirilsin.
Yechish.
4
1
2
1
1
1
1
2
2
2
2
/
tg
y
x
r
,
y
,
x
. Demak
4
4
2
sin
i
cos
z
2-misol.
1
z
son trigonometrik formaga keltirilsin.
Yechish.
sin
i
cos
z
,
,
tg
,
y
x
r
,
y
,
x
0
1
0
1
2
2
.
Kompleks sonlar ustidagi amallar.
1) qo‘shish va ayirish.
,
y
i
x
z
1
1
1
2
2
2
y
i
x
z
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
y
y
i
x
x
y
i
x
y
i
x
z
z
(3)
Demak, kompleks sonlar qo‘shilganda (ayrilganda) ularning haqiqiy qismlari
alohida va mavhum qismlari alohida qo‘shiladi (ayriladi). Kompleks sonlarni
qo‘shish va ayirish vektorlar qo‘shilishi va ayrilishiga mos bo‘ladi (2-rasmga
qarang).
1
2
z
z
- kompleks sonlar ayirmasining moduli.
2) ko‘paytirish va bo‘lish.
,
y
i
x
z
1
1
1
2
2
2
y
i
x
z
a)
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
y
x
y
x
i
y
y
x
x
y
i
x
y
i
x
z
z
.
Agar kompleks sonlarni trigonometrik formada olsak, unda
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
2
1
sin
i
cos
r
r
z
z
yoki
,
sin
i
cos
r
r
sin
cos
cos
sin
i
sin
sin
cos
cos
r
r
sin
i
cos
r
sin
i
cos
r
z
z
Demak, kompleks sonlarni ko‘paytirishda modullari ko‘paytiriladi, argumentlari
esa qo‘shiladi.
;
e
r
r
e
e
r
r
z
z
,
e
r
z
,
e
r
z
i
i
i
i
i
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
i
i
i
i
i
e
r
r
e
e
r
r
z
z
,
e
r
z
,
e
r
z
b)
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
y
x
y
x
y
x
i
y
y
x
x
y
i
x
y
i
x
y
i
x
y
i
x
y
i
x
y
i
x
z
z
1
z
2
1
z
z
2
z
2
1
z
z
2-rasm
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
y
x
y
x
y
x
i
y
x
y
y
x
x
.
Agar
1
z
va
2
z
trigonometrik formada berilgan bo‘lsa,
unda
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
21
1
sin
i
cos
r
r
e
r
r
e
r
e
r
z
z
i
i
i
2
1
2
1
2
1
2
1
sin
i
cos
r
r
z
z
(5)
Demak, kompleks sonlarni bo‘lishda ularning argumentlari ayriladi, modullari
bo‘linadi.
3) darajaga ko‘tarish va ildiz chiqarish.
a)
i
e
r
z
, kompleks sonini
n
–darajaga ko‘taraylik
n
i
n
n
i
n
e
r
e
r
z
, yoki
n
sin
i
n
cos
r
z
n
n
(6)
Demak, trigonometrik formada berilgan kompleks sonni darajaga ko‘tarishda
modul shu darajaga ko‘tariladi, argument darajaga ko‘paytiriladi.
Agar (6) da
r=
1 bo‘lsa
sin
i
n
cos
sin
i
cos
r
n
Muavr formulasi hosil
bo‘ladi.
b)
i
e
r
z
, kompleks sonini
n
–darajali ildizi
w
bo‘lsin, ya’ni
ni
'
ya
,
n
k
,
z
,
k
n
,
r
n
sin
i
n
cos
sin
i
cos
r
,
n
sin
i
n
cos
w
z
,
e
w
z
n
n
n
n
n
i
n
2
2
n
k
sin
i
n
k
cos
r
z
n
n
2
2
(7)
3-misol.
sin
i
cos
?
8
8
8
3
, chunki
,
r
8
64
.
Yechish.
2
1
0
2
2
2
8
3
,
,
k
n
k
sin
i
n
k
cos
,
bo‘lganda
3
1
2
3
1
8
3
i
i