Andijon davlat universiteti fizika matematika fakulteti

2.   Qutb koordinata sistemasidagi tenglamalar 

a)  Parabola              

 

kanonik  tenglama  bilan  berilgan  bo‟lsa,  qutbni  parabola  fokusiga  joylahtirib,  qutb o‟qi  

sifatida  abscissa  o‟qini  olib  parabola  tenglamasini  qutb  koordinatalar  sistemasida  yozaylik.  

Agar  biz            

 

almashtirish  bajarsak                        

 

tengliklar  o‟rinli  bo‟ladi.  Bu  yerda  

  nuqtaning  qutb  koordinatalari bo‟lib,  agar nuqta  

parabola  tegishli  bo‟lsa,     uning  fokal  radiusiga  tengdir.  Biz 

                                              

 

tenglikda     ning  nuqtadan  direktrisagacha  bo‟lgan  masofaga  tengligini  hisobga  olib  

 ifodani  yuqoridagi  tenglikka  qo‟ysak, 

                                               

 

munosabatni  hosil  qilamiz.  Bu  munosabat  parabola  qutb 

koordinatalar  sistemasidagi  tenglamasidir. 

a) 

 Ellipsning  qutb  koordinatalar  sistemasidagi  tenglamasini  keltirib  chiqaramiz.  

Buning  uchun  qutbni  ellipsning  chap  fokusiga  joylashtirib,  abssissa  o‟qini qutb  o‟qi  

sifatida  olamiz.  Ellipsning    

 

kanonik  tenglamasini  qutb  koordinatalar  sistemasiga  o‟tkazish  uchun  

                                                                                                                             

almashtirishlar  yordamida  yangi  lar  yordamida  yangi  

  dekart  koordinatlar  

sistemasini kiritamiz.  Bu  koordinatalar  sistemasi  va  qutb  koordinatalar  orasidagi 

bog‟lanishboshi                  

 

                                                                              

  

---

57 

 

formulalar  yordamida  beriladi.  Ellipsning  

  nuqtasi  uchun  chap  fokal  radiusi  uning  qutb  

radiusiga  tengligidan  foydalanib,   

 

tenglikni  yozamiz.  Bu  tenglikdagi  

  ifodani   

 

 tenglikka  qo‟ysak    

 

 

 

 

 

      

tenglamani  hosil  qilamiz.  Bu  yerda  

 

 

tenglikdan  foydalandik.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               

b) Giperbola tenglamasini qutb koordinatalar sistemasida yozish uchun  

har qismi uchun mos ravishda qutb koordinatalar sitemasini kiritamiz. Uning o‟ng qismi uchun 

qutb boshini giperbolaning uning fokusiga joylashtiramiz va abssisa o‟qini qutb o‟zi sifatida 

olamiz. Giperbola nuqtasi uchun qutb radiusi r uning o‟ng fokal radiusiga teng bo‟lgani uchun 

 

 

ifodani hosil qilamiz. Biz bilamizki,  agar dekart 

 koordinatalarsistemasi uchun qutub 

boshi koordinata boshida joylashgan va qutb o‟qi 

 abssisa o‟qi bilan ustma – ust tushsa, 

qutb koordinatalar sitemasi va 

 koordinatalar sitemasi orasidagi bog‟lanish               

 

 

 

formula yordamida beriladi. Bu yangi 

 koordinatalar sistemasi va giperbola tenglamasi 

berilgan Oxy koordinatalar sistemasi orasidagi bog‟lanish esa  

  

 

 

 

 

 

 

ko‟rinishda bo‟ladi. Biz bu tengliklarning birinchisidan foydalanib,  

 

 

 

 

 

 

 

tenglikni hosil qilamiz. Yuqoridagi  

  ifodani bu tenglikka qo‟ysak  

 

 

 

 

 

tenglamani hosil qilamiz. Bu yerda    

 

 

---

58 

 

tenlikdan foydalandik. 

Biz giperbola chap shoxining tenglamasini qutb koordinatalar sistemasida yozishuchun 

qutb boshini chap fokusga joylashtiramiz va abssisa o‟qini qarama -                 qarshi yo‟nalish 

bilan qutb o‟qi sifatida olamiz. Biz agar   

         

 

formula bilan yangi dekart koordinatalar sistemasi kiritsak, ular uchun  

                         

 

                             

   

 

 

 

formula o‟rinli bo‟ladi. Bu yerda qutb radius chap fokal radiusga  teng bo‟lganligi uchun  

 

 

tenglik o‟rinli bo‟ladi. Bu tenglikdagi   ning ifodasi yuqoridagi formulaalrdan kelib chiqadi  

 

         

 

tenglikka qo‟yib,                                                               

 

tenglamani hosil qilamiz. Bu yerda ham                        

 

tenglik o‟rinlidir. 

 

Demak, qutb koordinatalar sistemasida mos ravishdatanlaganda ham qanday   ikkinchi 

tartib chiziq tenglamasini  

 

 

 

 

ko‟rinishda yozish mumkin ekan. Bu tenglama 

 bo‟lsa parabola, 

 bo‟lganda ellips 

va nihoyat 

 bo‟lganda giperbola tenglamasidir.