Andijon davlat universiteti fizika-matematika fakulteti matematika yo

1.7-§.Funksiya limitining mavjudligi haqidagi teoremalar
to’plam berilgan bo’lib, (chekli yoki ) esa shu to’plamning
limit nuqtasi va barcha lar uchun bo’lsin. Bu to’plamda
aniqlangan funksiyani ko’raylik.
Teorema. Agar funksiya to’plamda o’suvchi bo’lib, u
yuqoridan chegaralangan bo’lsa, funksiya nuqtada chekli limitga ega,
yuqoridan chegaralanmagan bo’lsa, uning limiti bo’ladi.
to’plam berilgan bo’lib, (chekli yoki ) esa shu to’plamning
limit nuqtasi va barcha lar uchun bo’lsin. Bu to’plamda
aniqlangan funksiyani ko’raylik.
Teorema. Agar funksiya to’plamda kamayuvchi bo’lib, u
quyidan chegaralangan bo’lsa, funksiya nuqtada chekli limitga ega,
quyidan chegaralanmagan bo’lsa, uning limiti bo’ladi.
Bu teoremalar monoton ketma–ketlikning limiti mavjudligi haqidagi
teoremalar kabi isbotlanadi.
Endi funksiya limitining mavjudligi haqidagi umumiy
teoremani keltiramiz.
to’plam berilgan bo’lib, uning limit nuqtasi bo’lsin. Bu to’plamda
berilgan funksiyani ko’raylik.
Ta’rif. Agar son uchun shunday son topilsaki, argument
ning tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy
va qiymatlarida

tengsizlik o’rinli bo’lsa, funksiya uchun nuqtada Koshi sharti
bajariladi deyiladi.
Misol. Ushbu funksiya uchun nuqtada Koshi shartining bajarilishi ko’rsatilsin.
◄ Haqiqatan son olib, ni deb qaralsa, u holda ning

tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy va qiymatlari uchun quyida-
giga ega bo’lamiz:

Bu berilgan funksiya uchun nuqtada Koshi sharti bajarilishini
ko’rsatadi.►
funksiya uchun nuqtada Koshi shartining bajarilmasligi quyi-
dagini anglatadi:
son olganimizda ham shunday va

tengsizliklarni qanoatlantiruvchi , qiymatlar topiladiki,

bo’ladi.
Masalan, funksiya uchun nuqtada Koshi sharti baja-
rilmaydi. Haqiqatan, olganimizda ham va

nuqtalar uchun bo’lganda bo’lishi ravshan, ammo

bo’ladi.
Teorema (Koshi). funksiya nuqtada chekli limitga ega
bo’lishi uchun bu funksiya uchun nuqtada Koshi shartining bajarilishi
zarur va yetarli.