Analyzing long-term soil erosion in a ridge-shaped persimmon plantation in eastern Spain by means of isum measurements

Fig. 5.
Calculation procedure of the lost soil (a, b & c) by means double integral in MATLAB, adopted from
Tisdell (2011)
.
Fig. 6.
Soil depletion on ridge, furrow, and average of ridge & furrow.
F. Bayat, et al.
Catena 183 (2019) 104176
5

---

was based on calculating the volume of irregular shapes by subdividing
them into small units (
Fig. 5
). We used double integrals (
Tisdell, 2011
;
Tisdell, 2017
) and an algorithm for fitting the polynomial surface
(
Balch and Thompson, 1989
) to calculate the volume of soil. As shown
in
Fig. 5
, we could not use the surface equation f (x, y) that is fitted for
the whole data (
Fig. 5
-1) to calculate the volume. Therefore, the surface
was divided into several elements and the fittings were individually run
for each element (
Fig. 5
-2). Then, using the fitted equation for each
element, the volume was estimated. Finally, these volumes were
summed and the total volume obtained (
Fig. 5
-3). For each R
ij
area, a f
ij
surface is fitted as follows Eq.
(2)
:
=
+
+
+
+
+
f
P
P
x
P
y
P
x
P
x
y
P
y
ij
00
10
01
20
2
11
02
2
(2)
where f
ij
is a surface function in a given row (i) and column (j) and the P
constants are derived by fitting data on the above equation. This
equation is quadratic in both the x- and y-direction.
Now, the volume is obtained using the dual integral of the fitted
function for the given section Eq.
(3)
:
=
=
+
+
+
+
+
V
f dxdy
(P
P
x
P
y
P
x
P
x
y
P
y )dxdy
ij
xi 1
xi
yi 1
yi
ij
xi 1
xi
yi 1
yi
00
10
01
20
2
11
02
2
(3)
where V
ij
is the volume of an element in a given row (i) and column
number (j); x
i
, x
i-1
, y
i
, and y
i-1
are the coordinates of the desired part.
By obtaining V
ij
for other elements, the total volume below the
surface was obtained by adding the sum of the volume of the individual
elements (Eq.
(4)
):
=
=
=
V
V
j
M
i
N
ij
1
1
(4)
where V is the volume of total elements and N and M are the number of