Аналитическая геометрия на плоскости

КЛАССИФИКАЦИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

1. 
   Общее уравнение кривой второго порядка. Центр кривой.
   

Напомним, что кривой второго порядка называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
?
в котором хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.
Выражение называется квадратичной частью уравнения. - линейной частью, а с – свободным членом.
Если мы перейдем к новой системе координат , то формулы замены координат будут иметь вид

Подставляя эти значения в уравнение кривой второго порядка, получим уравнение такого же вида, т.е. содержащее и во второй степени. Поэтому наше определение корпректно, т.е. не зависит от выбора системы координат.
Определение. Точка называется центром кривой второго порядка, если она является ее центром симметрии. Кривая, которая имеет центр, называется центральной.
Предположим, что система координат выбрана так, что ее начало находится в центре кривой. Тогда одновременно с точкой М(х,у) кривой будет принадлежать и точка . Подставим ее координаты в уравнение кривой второго порядка, получим
.
Разность уравнений для симметричных точек

должно выполняться для любой точки М(х,у) на кривой. Отсюда в случае, если начало координат находится в центре . Поэтому, если изначально начало координат не находится в центре , то мы совершим параллельный перенос координатных осей в центр, и уравнение кривой в новой системе координат примет вид
(*)
т.е. линейная часть уравнения исчезнет.
При этом коэффициенты квалратичной части останутся прежними; это будет установлено в процессе доказательства следующей теоремы.
Теорема. Координаты центра кривой, заданной уравнением , находятся из системы линейных уравнений
(**)
Доказательство. Введем новую декартову систему координат , которая получается из Оху переносом начала в центр кривой. Подставляя формулы замены координат

в уравнение , получим

,
или

,
где - значение левой части уравнения кривой второго порядка в точке . Поскольку в новой системе координат коэффициенты при и должны быть равны нулю, то получаем доказываемые уравнения.
Упростим величину :

.
Выражения в скобках равны нулю (в силу возможности линейного переноса), и мы имеем
.
Обозначим матрицу квадратичной части уравнения . Эта матрица является также матрицей системы линейных уравнений (**).
Введем обозначения: .
Возможны три следующие случаи:
1 случай. . Тогда по правилу Крамера система имеет единственное решение
,
а кривая имеет единственный центр.
2 случай. и (заметим, что в случае определители и будут равны или не равны нулю только одновременно).
Тогда ранг расширенной матрицы системы (**) будет равен 2, , и, согласно теоерем Кронекера-Капелли, систепма (*) не имеет решений, а кривая не имеет центра.
3 случай. . Тогда оба уравнения в системе (**) пропорциональны, а значит, эта система имеет бесконечное количество решений, а кривая – бесконечное количество центров.
Еще раз упростим величину :

C учетом введенных обозначений, имеем
,
где

В скобках как раз стоит разложение  по последней строке или последнему столбцу. Последнее равенство позволяет находить не находя координат центра кривой.

2.