Аналитическая геометрия на плоскости

5.3.2. Форма гиперболы
Исследуем форму гиперболы на плоскости. Из вида уравнения ясно, что гипербола симметрична относительно осей Ох и Оу.
При х=0 получим уравнение , которое не имеет вещественных корней. Следовательно, кривая не пересекает ось Оу.
При у=0 получим уравнение корни которого . Следовательно, кривая пересекает ось Ох в точках и . Эти точки называются вершинами гиперболы.
Числа а и b называются полуосями гиперболы, при этом а – действительной полуосью, а b – мнимой полуосью.
Для части гиперболы, находящейся в первой четверти, явное уравнение имеет следующий вид:
,
из которого видно, что у принимает вещественные значения при . Следовательно, нет точек кривой, расположенных в полосе .
Преобразуем явное уравнение гиперболы:

.
Отсюда следует, что

Прямоугольник с центром в точке О и сторонами и называют осевым прямоугольником гиперболы.

Построим диагонали осевого прямоугольника. Их уравнение .
Найдем разность ординат точки М гиперболы и точки N диагонали, лежащие в первой четверти:

Последняя дробь стремится к нулю при , т.е. .
Следовательно, гипербола приближается к диагоналям. Прямые называются асимптотами гиперболы.
5.3.3. Характеристика гиперболы
Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется число .
Так как у гиперболы , то эксцентриситет гиперболы .
Определение. Директрисами гиперболы называются прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и отстоящие от центра гиперболы на расстояние .

Директрисы гиперболы расположены симметрично между центром и вершинами гиперболы (т.к. эксцентриситет и ).
Пример. Составить уравнение гиперболы при следующих условиях и найти недостающие параметры: .
Решение. Каноническое уравнение гиперболы имеет вид .
- действительная полуось гиперболы;
- уравнение искомой гиперболы;
- фикусы гиперболы;
- эксцентриситет гиперболы;
- вершины гиперболы;
- асимптоты гиперболы;
- уравнение директрис гиперболы.
Строить гиперболу советуем следующим образом:
1. Отметить на координатных осях полуоси гиперболы и 3.
2. Провести через эти точки прямые, параллельные осям.
3. Провести диагонали полученного прямоугольника. Эти диагонали являются асимптотами гиперболы.
4. Построить гиперболу, проводя ее через вершины А₁ и А₂ так, чтобы ветви приближались к асимптотами при .