An abstract of the thesis of

 
 
 
 
(4.1) 
where 
Ph
M
=
, 
κ
is the curvature, 
*
b
E
is effective bending modulus, 
I
=Bh
3
/12. 
B
is 
depth, 
h 
is height of the beam and 
L
is the length. The total energy is then: 
A
E
L
P
Bh
E
L
h
P
U
b
b
*
2
3
*
2
2
6
2
12
=
=
(4.2) 
where A= Bh is cross sectional area of the beam. Finally, the effective MOE in bending is 
UA
L
P
E
b
2
*
6
=
(4.3) 
Given MPM results for 
U
, specimen dimensions and load, 
*
b
E
can be found. 
Figure 4.1. Schematic of cantilever beam for bending test of MPM calculation. 
4.2.1. Validation of Model (Sensitivity Study)
The energy method was used to calculate the effective modulus of elasticity for 
all the calculations loaded in bending. To validate the energy approach, an isotropic 
material was tested. The beam was 100 mm long, 10 mm high and with 
E
=2500MPa, 
Poisson ratio = 0.33, density (rho) = 1g/cm
3
. Due to the isotropic material properties that 
were used, the results of the calculation of bending MOE by the energy method (equation 
4.3) should be same as the input tensile E= 2500 MPa. Figure 4.3 shows energy 
h 
P 
P 

---

93 
calculated by Eq (4.3) as function of time for beam loaded up to 2N with loading rate of 
20 N/msec and then held. The curve shows an initial peak due to dynamic effects, but 
eventually settles down to E close to the expected result (E=2500 MPa).
a)
Unload 
b)
Load 
Figure 4.2. Setting up of cantilever beam for bending test of isotropic properties in MPM; 
a) no load, b) loaded.
As discussed earlier (in chapter 3), there are dynamic effects in MPM that need to 
be understood to find MOE. Figure 4.3 shows the dynamic effects on the elastic 
properties in MPM simulations with damping and without damping. When there was no 
damping, there were oscillations of MOE over time but less oscillation occurred when 
damping was used. At early time, there was a large oscillation of MOE but the results 
stabilize at long time. To calculate MOE the strain energy was recorded (here there was 
no interface energy). All calculations needed to wait for 
*
b
E
to reach a constant value. In 
Figure 4.3, the results of a simulated homogenous beam are plotted over loading time. In 
the early time there are dynamic effect but after 25-30 msec, the effective modulus levels 
off and is close to input MOE (2500 MPa).

---

94 
To compare dynamic effects to expected time scales, the natural frequency of the 
cantilever beam was calculated (Goldsmith, 1962): 
A
EI
L
x
f
ρ
π
2
2
2
=
(4.4) 
where E is modulus, L is length (100mm), 
ρ
is density (1g/cm
3
=1000kg/m
3
), 
A
is the 
cross sectional area, and I is moment of inertia and equal to Bh
2
/12, B is width and h is 
height. The oscillation time for a complete cycle is
f
1
=
τ
. The term x, which corresponds 
to vibration modes, is found from solution to cos(x)cosh (x) =-1. The first root, for the 
fundamental frequency, is x =1.985. Plugging in all values, the oscillation time for one 
cycle is 3.9 msec. As seen in Figure 4.3, 3.9 msec is close to the simulated oscillation 
period. It takes 5 to 10 times this period for MOE to level off. Adding damping helps the 
process. Note that the time to get MOE in bending (about 20 msec) is about 1000 times 
longer than the time to get MOE in tension (0.021 msec, see chapter 3). The bending 
calculations thus took much longer.
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70