Amaliy matematika va informatika yo’nalishi

2.Differensial tenglamalar— nomaʼlum funksiyalar, ularning turli tartibli hosilalari va erkli oʻzgaruvchilar ishtirok etgan tenglamalar. Bu tenglamalarda nomaʼlum funksiya i orqali belgilangan boʻlib, birinchi ikkitasida i bitta erkli oʻzgaruvchi t ga, keyingilarida esa mos ravishda x, t va x, u, z erkli oʻzgaruvchilarga bogʻliqdir. Differensial tenglama nazariyasi 17-asr oxirida differensial va integral hisobning paydo boʻlishi bilan bir vaqtda rivojlana boshlagan. Differensial tenglama matematikada, ayniqsa, uning tatbiklarida juda katta ahamiyatga ega. Fizika, mexanika, iqtisodiyot, texnika va boshqa sohalarning turli masalalarini tekshirish differensial tenglamani yechishga olib keladi. 2. Xususiy hosilali differensial tenglama Bu tenglamalarning oddiy differensial tenglamadan farqli muhim xususiyati shundan iboratki, ularning barcha yechimlari toʻplami, yaʼni "umumiy yechimi" ixtiyoriy oʻzgarmaslarga emas, balki ixtiyoriy funksiyalarga bogʻliq boʻladi; umuman, bu ixtiyoriy funksiyalarning soni differensial tenglamaning tartibiga teng; ularning erkli oʻzgaruvchilari soni esa izlanayotgan yechim oʻzgaruvchilari sonidan bitta kam boʻladi. Bir nomaʼlumli 1-tartibli xususiy hosilali Differensial tenglamani yechish oddiy differensial tenglama sistemasini yechishga olib keladi. Tartibi birdan yuqori boʻlgan xususiy hosilali differensial tenglama nazariyasida Koshi masalasi bilan bir katorda turli chegaraviy masalalar tekshiriladi.


3. Tafovutni minimallashtirish usullari

ChM quyidagidan iborat. Quyidagi differentsial tenglamaning

(1)
ikkita chegaraviy shartlarni
(2)
qanoatlantiruvchi echimini topish talab etiladi, bu erda p(x), q(x), f(x) C[a,b] – berilgan funktsiyalar, - berilgan sonlar, ya`ni

Agar (2) shartlarda bo`lsa, u holda bu chegaraviy shartlar birinchi tur bo`ladi. Agar bo`lsa, ikkinchi tur chegaraviy shart deyiladi. Umumiy holda bo`lganda, (2) shartga uchinchi tur chegaraviy shart deb ataladi.
(1), (2) masalani echishga quyidagicha kirishamiz. Berilgan [a, b] kesmada ikki marta uzluksiz diffeentsiallanuvchi (ya`ni, S<sup>(2)</sup>[a, b] fazodagi funktsiyalar) chiziqli boғliq bo`lmagan ₀, ₁..., _n, ..., funktsiyalar sistemasini tanlaymiz. Bunda, ₀ funktsiya (2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi, ya`ni l<sub>0</sub><sub>0</sub>=<sub>0</sub>, l<sub>1</sub><sub>0</sub>=<sub>1</sub>, qolgan funktsiyalar esa birjinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi, ya`ni
l₀_i=0, l₁_i=0, i=1,2, ... .
Berilgan {_i} funktsiyalar sistemasini bazis funktsiyalar sistemasi deb ataymiz.