Amaliy matematika va informatika” yo’nalishi 3-bosqich talabasi eshmamatov abdumurodning “hisoblash usullari” fanidan

1-ta’rif. tenglama (2)-ning (ayirmali sxemasi) xatoligi deyiladi. ni (2)- ga qo’yamiz.
Unda

tenglamani qanoatlantirishini ko’ramiz.

Bunda



2-Ta’rif. to’r funksiya ayirmali tenglama (2)-ning masala (1)- yechimidagi approksimatsiya xatoligi deb aytiladi.
funksiya shaklini o’zgartiramiz. Tenglama (1)-ni to’rga akslantirib

yoki kelishilgan belgilashga asosan

tenglikni hosil qilamiz.

(5) va (6) dan

ya’ni

bu yerda

tenglikka ega bo’lamiz.

3-Ta’rif. va funksiyalar mos ravishda differensial operatorni ayirmali operator bilan almashtirilgandagi approksimatsiya xatoligi va o’ng tomonning approksimatsiya xatoligi deb aytiladi.

4-Ta’rif. (2)-ayirmali masala (1)- ayirmali masala approksimatsiyalaydi deb aytiladi, agar Ayirmali sxema k-tartibli approksimatsiya xatoligiga ega deb aytiladi, agar shunday ga bog’liq bo’lmagan mavjud bo’lib

bo’lsa.

Ayirmali sxemaning korrektligi. Yaqinlashish. Turg’unlik va yaqinlashish orasidagi bog’lanish.
Differensial masaladagi kabi ayirmali masalani yechish uchun ham korrektlik tushunchasi kiritiladi.

5-Ta’rif. Ayirmali sxema (2)-korrekt deb aytiladi, agar

1)ixtiyoriy uchun uning yechimi mavjud va yagona;

2)h ga bog’liq bo’lmagan shunday konstanta mavjud bo’lib, ixtiyoriy

baho o’rinli bo’lsa.

2)-xosa ayirmali masala yechimining h bo’yicha o’ng tomoniga nisbatan tekis uzluksiz bog’liqligini bildiradigan xossa, ayirmali masalaning turg’unligi deb aytiladi.

1)-xossa operatorning mavjudligiga teng kuchli,

2)-xossa esa operatorning h bo’yicha chegaralanganligiga teng kuchli.

Ayirmali sxemalar nazariyasining asosiy masalasi uaqinlashishni aniqlashdan iborat.

6-Ta’rif. Agar

bo’lsa, (2)-ayirmli masala yechimi (1)-differensial masala yechimiga aniqlashadi deb aytiladi. Agar h ga bog’liq bo’lmagan konstantalar mavjud bo’lib

baho o’rinli bo’lsa, ayirmali sxemaning aniqligi k-ga teng deb aytiladi. Odatda “Ayirmali masala yaqinlashadi.” Deyilganda ayirmali sxema yechimning differensial tenglama yechimiga yaqinlashishi tushuniladi. Turg’unlik va yaqinlashish haqida quyidagi teorema o’rinli.

Teorema. (turg’unlik va yaqinlashish haaqida).

Faraz qilamiz (1)-differensial masala korrekt qo’yilgan bo’lib, (2)-ayirmali sxema korrekt va (1) masalani approksimatsiyalaydigan bo’lsin. Unda (2)-ayirmali masala yechimi (1)-masala yechimiga yaqinlashadi, shuningdek yaqinlashsh tartibi approksimatsiya tartibiga teng bo’ladi.

Isbot. (4)-xatolik tenglamasi (2)-ayirmali sxemaga o’xshaydi.

Shuning uchun korrektlik talabidan

(9)

hosil bo’ladi. son h ga bogg’liq bo’lmagani uchun

kelib chiqadi.

Agar

bo’lsa, unda (9)-dan

hosil bo’ladi, ya’ni ayirmali sxema k- tartib blan yaqinlashadi.

Bu teoremaning mohiyati shundan iboratki, yaqinlashishni tadqiq etishni ikki bosqichga ajratish mumkin bo’ladi, approksimatsiya borligi va turg’unlikni isbot qilish kabi bosqichlarga ajratiladi. Odatda (8)-kor\’rinishdagi baholarni ko’rsatib turg’unlikni isbot qilish ancha qiyin bosqich hisoblanadi.